روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی (AHP)

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP فازی AHP

روش تحلیل سلسله مراتبی

روش تحلیل سلسله مراتبی کلاسیک توسط توماس ال. ساتی در سال ۱۹۷۰ ارائه شد. اساس این روش بر مقایسات زوجی استوار است. این روش با ایجاد درخت تصمیم شروع می شود که در سطح اول، هدف؛ در سطح دوم، معیارهای تصمیم گیری و در سطح سوم گزینه های تصمیم قرار دارد. برای n   معیار داده شده با مقایسه زوجی معیارها ، وزن هر معیار بدست می آید. برای ارزیابی گزینه ها در مواجهه با معیارها هر گزینه به طور زوجی و در مواجهه با هر معیار به طور مستقل ارزیابی شده و درجه ارجحیت بین اعداد ۱ تا ۹ تخصیص می یابد. بدین ترتسی بردار R  و W  ساخته می شوند و با ضرب آن ها در یکدیگر امتیاز کلی گزینه ها بدست می آید. در سال ۱۹۹۶ روشی دیگری توسط یونگ چانگ ارائه شد که کاربرد مناسبی داشت که ما در ادامه این روش را شرح خواهیم داد.

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP

در این روش فرض بر این است که در مقایسات زوجی، ارزش مقایسات به صورت تقریبی و با اعداد فازی مثلثی بیان می شوند. فرض کنید ماتریس مقایسه زوجی معیارها با اعداد فازی مثلثی به دست آمده است. سپس با استفاده از محاسبات ریاضی در اعداد فازی مثلثی مقدار (Si) برای هر سطر ماتریس به صورت زیر محاسبه می شود:

ارزش مقایسات به صورت تقریبی

ارزش مقایسات به صورت تقریبی

توجه: می توان نظرات خبرگان را در قالب عباراتی مانند مهم تر، خیلی مهم تر و… دریافت کرد و سپس آن ها را با استفاده از جدول زیر به اعداد مثلثی فازی تبدیل نمود.

عبارت کلامی

عدد فازی مثلثی

عدد فازی معکوس

دقیقاٌ مساوی

(۱و۱و۱)

(۱و۱و۱)

کمی مهم تر

(۲/۳و۱و۲/۱)

(۲و۱و۳/۲)

مهم تر

(۲و۲/۳و۱)

(۱و۳/۲و۲/۱)

خیلی مهم تر

(۲/۵و۲و۲/۳)

(۳/۲و۲/۱و۵/۲)

خیلی زیاد مهم تر

(۳و۲/۵و۲)

(۲/۱و۵/۲و۳/۱)

کاملاٌ مهم تر

(۲/۷و۳و۲/۵)

(۵/۲و۳/۱و۷و۲)

پس از محاسبه Si  ها باید درجه صحت بزرگی آن ها نسبت به هم به دست آیند. این امر توسط روش گفته شده در مرتب سازی فازی انجام می شود. با استفاده از روش گفته شده، برای دو عدد  فازی مثلی A1=(l1,m1,u1)  و A2=(l2,m2,u2)  داریم:

  • اگر m1>=m2  باشد:  T(A1>=A2)=1
  • در غیر این صورت T(A1>=A2)=(u1-l2)/(u1-l2)+(m2-m1)

درجه صحت بزرگی یک عدد فازی نسبت به سایر اعداد فازی نیز مشابه قبل و به صورت ذیل محاسبه می شود:

W’i= min{T(Si>=Sk)}    k=1,2,…,n,k!=i

پس از محاسبه وزن ها (wi) بردار وزن معیارها (W) با نرمالایز کردن بردار W’I  به دست می آید. مشابه این اقدام برای بدست آوردن ماتریس R  انجام می شود. پس از محاسبه بردار w  و ماتریس R ، طبق حالت کلاسیک گزینه ها مرتب می شوند.

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP

مثال روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP:

سازمانی قصد دارد از بین ۳ شرکت تهیه غذا با بهترین شرکت قرارداد ببندد. با استفاده از روش تحلیل سلسله مراتبی فازی اولویت انتخاب را برای سازمان مشخص نمایید.

درخت سلسله مراتبی تصمیم به صورت زیر ترسیم شده است:

درخت سلسله مراتبی تصمیم

درخت سلسله مراتبی تصمیم

مرحله اول: درخت ترسیم به صورت زیر ترسیم می گردد

مرحله دوم: به منظور شکل دهی ماتریس های تصمیم گیری، نظرات خبرگان مورد استفاده قرار می گیرد.مقایسه معیارهای کلی ۳ گانه به صورت زیر انجام شد.

ماتریس های تصمیم گیری

ماتریس های تصمیم گیری

پس از آن هر کدام از زیر معیارها با توجه به معیار کلی شان مورد ارزیابی قرار گرفتند.

زیر معیارها

زیر معیارها

در نهایت هر کدام از شرکت ها بر اساس هر کدام از زیر معیارها مورد مقایسه و ارزیابی قرار گرفتند.

مقایسه و ارزیابی

مقایسه و ارزیابی

مقایسه و ارزیابی

مقایسه و ارزیابی

مرحله سوم: با توجه به وجود تنها یک نظر برای هر سلول در جداول مقایسه ای نیازی به میانگین گرفتن نیست.

مرحله چهارم: محاسبه مجموع سطر ها

H

QM

QS

 H    ۱٫۰    ۱٫۰    ۱٫۰      ۱٫۵      ۲٫۰      ۲٫۵    ۰٫۷    ۱٫۰    ۱٫۵           ۳٫۱۷           ۴٫۰۰      ۵٫۰۰ SH
 QM    ۰٫۴    ۰٫۵    ۰٫۷      ۱٫۰      ۱٫۰      ۱٫۰    ۱٫۵    ۲٫۰    ۲٫۵           ۲٫۹۰           ۳٫۵۰      ۴٫۱۷ SQM
 QS    ۰٫۷    ۱٫۰    ۱٫۵      ۰٫۴      ۰٫۵      ۰٫۷    ۱٫۰    ۱٫۰    ۱٫۰           ۲٫۰۷           ۲٫۵۰      ۳٫۱۷ SQS

SS:

          ۸٫۱۳         ۱۰٫۰۰    ۱۲٫۳۳

مرحله پنجم: به منظور نرمالایز سازی اوزان سطرها، مجموع هر سطر بر مجموع مجموع سطرها تقسیم می شود:

MH  SH*[SS]-1 ۳/۱۷*(۱/۱۲٫۳۴)    ۰٫۲۶    ۰٫۴۰           ۰٫۶۱
 MQM  SQM*[SS]-1 ۴٫۰۰*(۱/۱۰٫۰۰)    ۰٫۲۴    ۰٫۳۵           ۰٫۵۱
 MQS  SQS*[SS]-1 ۵٫۰۰*(۱/۸٫۱۳)    ۰٫۱۷    ۰٫۲۵           ۰٫۳۹

نکته مهم این است که در SS-1   مقدار کران بالا(۱۲٫۳۳)  در اولین عبارت(۳٫۱۷)  و مقدار کران پایین (۸٫۱۳) در آخرین عبارت (۱۲٫۳۳) ضرب می شود.

مرحله ششم: در این مرحله لازم است درجه امکان بزرگتر بودن هر یک از Mi  ها نسبت به بقیه محاسبه شود.

  • از آنجا که Mh>=MQm  پس V(Mh>=MQm)=1
  • از آنجا که Mh>=MQs  پس V(Mh>=MQs)=1

بنابراین درجه احتمال بزرگتر بودن H  نسبت به بقیه برابر است با:

D(H)=min{ V(Mh>=MQm), V(Mh>=MQs) } ={1 ,1} = 1

از آنجا که mQm>=mH نیست و lH>=UQm  نیست پس داریم:

V(MQm>=Mh)=(lH-uQM)/(mQM-uQM)-(mH-lH) = (0.26-0,51 )/(0.35-0.51)-(0.4-0.26) = 0.83

  • از آنجا که MQM>=MQs  پس V(MQM>=MQs)=1

بنابراین درجه احتمال بزرگتر بودن QM  نسبت به بقیه برابر است با:

D(QM)=min{ V(M QM >=Mh), V(M QM >=MQs) } ={0.83 ,1} = 0.83

از آنجا که mQs>=mH نیست و lH>=UQs  نیست پس داریم:

V(MQs>=Mh)=(lH-uQs)/(mQs-uQs)-(mH-lH) = (0.26-0,39 )/(0.21-0.39)-(0.4-0.26) = 0.41

از آنجا که mQs>=mQM نیست و lQM>=UQs  نیست پس داریم:

V(MQs>=MQM)=(lQM-uQs)/(mQs-uQs)-(mQM-lQM) = (0.24-0,39 )/(0.21-0.39)-(0.35-0.24) = 0.52

بنابراین درجه احتمال بزرگتر بودن QS  نسبت به بقیه برابر است با:

D(Qs)=min{ V(M Qs >=Mh), V(M Qs >=MQM) } ={0.41 ,0.52} = 0.41

بنابراین اوزان اولیه غیر نرمالایز سه معیار نسبت به بقیه برابر است با:

W’= (۱, ۰٫۸۳, ۰۴۱)

 

مرحله هفتم: با نرمالایز کردم ماتریس اوزان فوق وزن نرمالایز شده معیارها به ترتیب برابر است با:

W = [1/ (1+0.83+0.41) , 0.83/(1+0.83+0.41), 0.41/(1+0.83+0.41)] = (0.45, 0.37, 0.18)

انجام این عملیات بر روی ماتریس های دوم ( مقایسه زیر معیارهای بهداشت) نتایج زیر را در بر دارد:

M HM = (0.32, 0.5, 0.74)

M HSP= (0.17, 0.25, 0.39)

M HSV= (0.17, 0.25, 0.39)

V (M HM>= M HSP) =1

V (M HM>= M HSV) =1

D’ (HM) =1

V (M HSP >= M HM) =0.21

V (M HSP >= M HSV) =1

D’ (HSP) =0.21

V (M HSV >= M HM) =0.21

V (M HSV >= M HSP) =1

D’ (HSV) =0.21

W’ = (۱, ۰, ۲۱, ۰, ۲۱) > Normalize => W= (0.70, 0.15, 0.15)

به همین ترتیب وزن تمامی ماتریس ها بدست می آید.

مرحله هشتم: به منظور ترکیب اوزان ماتریس ها باید از سطوح پایین سلسله مراتب آغاز و به سمت سطوح بالای آن حرکت نمود. در صورتی که وزن شرکت ها نسبت به زیر معیارهای بهداشت (HM,HSP,HSV) را FH  و ماتریس اوزان این زیر معیارها را WH بنامیم. وزن معیارها بر اساس معیار بهداشت WFH  به صورت زیر محاسبه می شود:

 

وزن معیارها بر اساس معیار بهداشت WFH

وزن معیارها بر اساس معیار بهداشت WFH

که سطر اول ماتریس FH وزن سرکت ها بر اساس زیر معیار (HM) ، سطر دوم آن وزن شرکت ها بر اساس معیار(HSP)  و سطر سوم آن وزن شرکت ها بر اساس معیار (HSV) است بوده و بهترتیب از ماتریس ۱۸-۳ ، ۱۹-۳ ، ۲۰-۳) بدست آمده است.

با ادامه همین روند وزن شرکت ها بر اساس معیار (QM) و معیار (QS)  محاسبه می گردد.

وزن شرکت ها بر اساس معیار (QM)

وزن شرکت ها بر اساس معیار (QM)

حال با در اختیار داشتن ماتریس وزن شرکت ها نسبت به معیارها و نیز ماتریس وزن معیارها، وزن نهایی شرکت ها از حاصل ضرب این دو بدست می آید:

معیار (QS)

معیار (QS)

باتوجه به نتیجه حاصله شرکت سوم (۰٫۶۹) بهترین شرکت جهت عقد قرارداد می باشد.

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP

روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP روش تحلیل سلسله مراتبی فازی AHP