روش معیار جامع (LP متریک)

—در روش معیار جامع بر خلاف روش های قبلی نیازی به اولویت بندی اهداف، وزن دهی، یا تبدیل اهداف به محدودیت نیست. روش معیار جامع، بسته به مورد، مجموع توان اول، دوم، …انحرافات نسبی اهداف از مقدار بهینه شان را حداقل می کند. در این روش، تابع هدف که همواره حداقل نمودن آن مورد توجه است به صورت زیر تعریف می شود:

حداقل سازی تابع هدف

حداقل سازی تابع هدف

که در آن  مقدار بهینه ­ی تابع هدف iام (بدون در نظر گرفتن اهداف دیگر) است. پیشنهادهای مختلفی برای مقدار P وجود دارد. برخی  را مناسب می دانند(یعنی مجموع نسبی مقدار انحرافات حداقل شود) و برخی نیز  را مناسب تر می دانند (یعنی مجموع توان دوم انحرافات حداقل شود).

همچنین در روش معیار جامع (LP متریک) یک نقطه ایده آل در نظر گرفته می شود و سعی می شود نزدیک ترین نقطه از فضای جواب به نقطه ایده آل یافت شود. به این جواب (جواب سازشی) گفته می شود.

جواب سازشی

جواب سازشی

این نکته حائز اهمیت است که —توابع سازشی متفاوتی برای اندازه گیری فاصله استفاده می شود و این راه حل های مساله معیار جامع (LP متریک)، راه حل های موثر مساله چند هدفه هستند. معمولاً راه حل ها برای مقادیر p برابر با یک، دو و بی نهایت محاسبه می شود. به منظور محدود کردن تعداد راه حل ها، دور ترین راه حل ها از نقطه ضد ایده آل نیز محاسبه شده و راه حل های مشترک انتخاب می شوند:

 

توابع سازشی متفاوت

توابع سازشی متفاوت


مثال کاربردی روش معیار جامع (LP متریک)

مثال زیر را در نظر بگیرید و براساس روش معیار جامع (LP متریک) و به ازای P=1 و P=2 و P=INF  مساله را حل کنید:

Max f1(x) = 0.2 x1 + 0.3 x2

Min f2(x) = x2

s.to

x1 + x2 <= 200

x1 + 2×2 >= 300

x1, x2 >=0

 

گام اول: مشخص نمودن راه حل ایده آل برای P=1 , P=2

به منظور ارزیابی ترجیهات مدیریت شرکت دو مساله برنامه ریزی خطی زیر از طریق WINQSB حل می گردد:

مساله دوم                                                            مساله اول

Max f1(x) = 0.2 x1 + 0.3 x2                                                     Max f2(X) = -X2

s.to                                                                                          s.to

X1 + X2 <= 200                                                                        X1 + X2 <= 200

X1 + 2X2 >= 300                                                                      X1 + 2X2 >= 300

X1, X2 >=0                                                                               X1, X2 >=0

نقطهA                                              نقطه B                                                      نقطه C

{X1*=0              f*1(x)= 60         {X2*=200         f 2(x) = -200                  {X1*=100          f1(x)= 50

{X1*=0              f*1(x)= 60         {X2*=150         f 2(x) = -150                 {X2*=100         f*2(x) = -100

گام دوم: مشخص نمودن ماتریس بهره وری

  F1 F2 X1 X2
F1 ۶۰* -۲۰۰ ۰ ۲۰۰
F2 ۵۰ -۱۰۰* ۱۰۰ ۱۰۰

 گام سوم: دسترسی به یک راه حل موثر

p=1

LP متریک به ازای p=1

LP متریک به ازای p=1

جواب نهایی {X1*=250              X2*=0             f*1(x)= 100               f*2(x)= 250  }

p=2

LP متریک به ازای p=2

LP متریک به ازای p=2

Min: L’-۲ = ۰٫۰۰۰۱۴۴۴۴۴۴X11+ 0.0000666667X1X2 -0.0333333333X1 + 0.0000250000X22 -0.0100000000X2 + 2;

S.to

X1 + x2 <= 200

X1 + 2×2 >= 300

X1, x2 >=0

برای بدست آوردن نقطه بهینه این عبارت که از نوع QUADRATIC PROGRAMMING می باشد از نرم افزار WINQSB  استفاده می کنیم.

جواب نهایی {X1*=94.08       f*1(x)= 0.23     X2*=102.95     f*2(x) = -102.5}

گام چهارم: نمودار هندسی

ضلع BC  نشان دهنده راه حل های موثر می باشد و با توجه به حل مسائل L-1 , L-2 DM  راه حلی را از بین راه حل های موجود بر می گزیند.

نمودار تابع معیار جامع

نمودار تابع معیار جامع


مشخص نمودن راه حل ایده آل برای P=INF

برای حل مسائلی از این قبیل نمی توان از راه حل معمول استفاده نمود لذا از تابع ضد ایده آل استفاده می نماییم به گونه ای که تابع را برابر عبارت t  قرار می دهیم و مینیمم ماکسیمیم عبارات را به محاسبه می نماییم.

تابع معیار جامع به ازای p=INF

تابع معیار جامع به ازای p=INF

از حل معادله بهینه فوق نقطه بهینه در بینهایت به صورت زیر خواهد بود:

تابع معیار جامع به ازای p=INF

تابع معیار جامع به ازای p=INF

روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع روش معیار جامع