روش های آماری چند متغیره

روش های آماری چند متغیره

روش های آماری چند متغیره آن دسته از روش های آماری هستند که به طور همزمان داده ها را بر روی چندین متغیر تجزیه می کنند. در تجزیه چند متغیره روابط همزمان متغیرها با هم مورد بحث قرار می گیرد. در این تکنیک ها پیرامون میانگین و یا واریانس یک متغیر و یا رابطه دو متغیر بحث نمی شود، بلکه کواریانس و هم بستگی های بین سه یا چند مورد بحث قرار می گیرد.

روش های آماری چند متغیره

فرض کنید یک شرکت می خواهد دو محصول مسواک و خمیر دندان را به بازار عرضه کند و مدیر کارخانه در نظر دارد که وضعیت مصرف کننده ها را از نظر این دو محصول ارزیابی کند. نوع تجزیه بستگی به این دارد که مدیر کارخانه چه چیزی را در نظر دارد. ممکن است مردم هر دو محصول را با هم مورد توجه قرار دهند. اگر دو محصول بهم وابسته باشند، در آن صورت دریافت دو محصول دارای همبستگی خواهد بود. در تجزیه رگرسیون و کورالاسیون نیز ممکن است چندین متغیر مورد بحث قرار گیرند، اما در اینجا معمولا فرض بر آن است که متغیرهای مستقل، تصادفی نبوده بلکه ثابت هستند.

در تجزبه چند متغیره داده ها را بر روی چندین متغیر مثلا مجموعه ای از X ها از قبیل X₁,X₂,X₃,X₄ و غیره به عنوان یک عنصر واحد در تجزیه مورد توجه قرار می گیرند. مثلا در تجزیه وضعیت مصرف کننده ها، مصرف کننده ها از نظر دو محصول نمره می گیرند. یعنی برای هر مصرف کننده یک جفت پاسخ وجود دارد به نام های X₁,X₂ لذا دو نمره دارد X₁ که وضعیت مصرف کننده از نظر مسواک و دیگری X₂ که وضعیت مصرف کننده از نظر خمیر دندان است. اگر k متغیر در تجزیه داشته باشیم در آن صورت K عدد بعنوان یک عنصر خواهد بود. چنین ترتیبی از داده ها را یک بردار می گویند. لذا عنصر اصلی تجزیه در اینجا بردار است.

توزیع نرمال دارای اهمیت زیادی در تجزیه های آماری است، در تجزیه چند متغیره نیز توزیع نرمال از اهمیت ویژه ای برخوردار است. توزیع نرمال در تجزیه چند متغیره عبارت از توزیع متغیر های تصادفی در یک بردار به صورت X = (X₁, X₂, X_K) می باشد.

اگرK=2 باشد آن را حالت دو متغیره گویند و لذا با یک توزیع نرمال دو بعدی مواجه هستیم. در اینجا بجای یک منحنی زنگوله ای با یک منحنی سه یعدی پشته مانند یا تپه مانند مواجه هستیم که اگر K بزرگتر از 2 باشد آنگاه تابع احتمال دارای سطحی بیشتر از سه بعد است و نمی توان آن را رسم نمود.

اهداف کلی روش های آماری چند متغیره در پژوهش های علمی را می توان در مواردی همچون کاهش داده ها و ساده کردن ساختار، گروه بندی، رابطه بین متغیرها، پیش بینی و ساختن فرضیه و آزمون مشاهده نمود.

توزیع نرمال چند متغیره

تعمیم منحنی نرمال از یک متغیر به چندین متغیر نقش مهمی را در تجزیه چند متغیره بازی می کند. یکی از مزایای توزیع نرمال آن است که از نظر ریاضی انعطاف پذیر است و لذا می توان نتایج مفیدی را بدست آورد. اما این انعطاف پذیری فی نفسه ارزش علمی ندارد اما می توان عنوان داشت که این توزیع به دو دلیل ارزش علمی دارد. نخست اینکه در برخی از موارد دارای شرایط  مدل جمعیت است و ثانیاً توزیع های نمونه گیری بسیاری از آماره های چند متغیره تقریباً و صرف نظر از جمعیت منشا دارای توزیع نرمال هستند.

اگر یک متغیر تصادفی kبعدی را با X نمایش دهیم، در آن صورت خواهیم داشت:    (X=(X₁, X₂…X_K که در آن K اعداد صحیح می باشند. برای مثال در وضعیت مصرف کننده ها نسبت به دو محصول با یک متغیر تصادفی دو بعدی یا دو جزئی مواجه هستیم لذا (X=(X₁,X₂ است که در آن وضعیت مصرف کننده از نظر مسواک را با X₁  و از نظر خمیردندان را با X₂  نشان می دهیم.

اگرX ها را با اعداد حقیقی بنویسیم در آن صورت آن هارا با x کوچک نمایش می دهیم:

(x=(x₁, x₂…x_k

تابع توزیع احتمال تجمعی را می توان به صورت F=(X₁, X₂, …, X_K) تعریف کرد که یک تابع احتمال توام برایK  متغیر تصادفی X_i است که در آن i=1,2…k می باشد. بنابراین می توان گفت که تابع توزیع احتمال تجمعی توام یک متغیر تصادفی k بعدی عبارت است از:

= P(X₁≤x₁, X₂≤x₂…X_k ≤ x_k­)  F=(X₁, X₂, …, X_K)

به عنوان مثال در مثال خمیردندان و مسواک F(55, 60) احتمال توام این است که نمره وضعیت مصرف کننده برای مسواک کمتر یا مساوی 55 و وضعیت او از نظر خمیردندان کمتر یا مساوی 60 باشد.

توزیع احتمال حاشیه ای  هر یک از k  متغیر X_i عبارت از توزیع احتمال آن متغیر به تنهایی (صرف نظر از اینکه احتمال هر یک از اجزا متغیر تصادفی در بردار چقدر است) می باشد که در آن x_i یک مقدار است.

F (X_i) = P (X_i ≤ x_i)

به طور کلی تابع توزیع احتمال توام به حاصلضرب توزیع احتمال حاشیه ای گفته نمی شود زیرا مقداری همبستگی بین متغیرهای تصادفی وجود دارد یعنی مستقل از یکدیگر نیستند. اگر متغیر های تصادفی مستقل از یکدیگر باشند، دارای مزیت کمتری برای تجزیه چند متغیره است. توزیع نرمال چند متغیره یک متغیر تصادفی دارای توزیع احتمال زیر است: