روش LINMAP

روش LINMAP

روش LINMAP

روش LINMAP

این روش برای ارزیابی اوزان (Wj) از شاخص ها و مشخص نمودن اولویت بندی از گزینه های به کار می رود. در این روش m گزینه با n شاخص به وسیله m نقطه برداری در یک فضای n-بعدی نشان داده شده و فرض برآن است که DM گزینه های با کمترین فاصله به نقطه ایده آل را در این فضا انتخاب خواهد کرد.

فرض بر آن است که DM از دو گزینه مفروض نزدیکترین به ایده آل را انتخاب خواهد کرد و فاصله از ایده آل به صورت فاصله اقلیدسی وزین (di) برای گزینه Ai مورد توجه قرار می گیرد، همچنین اوزان Wj به منظور تبدیل مقیاس های موجود به مقیاس های یکسان بوده که ضمنا درجه اهمیت از هر شاخص را هم نشان می دهند. فاصله گزینه Ai از ایدآل بدین صورت است:

 

فاصله اقلیدسی

فاصله اقلیدسی

به طوری که r*j نشان دهنده ایدآل از شاخص jام است.

الف) فرض کنیم مجموعه {(S={(k,l نشان دهنده زوج های Ak و Al بوده به طوری که Ak  بر Al ارحج است و مجموعه S به طور نرمال دارای m(m-1)/2 عنصر خواهد بود. راه حل (*w,r) برای هر زوج مرتب شده سازگار با فاصله وزین است اگر tk≤tl  باشد. مشخص نمودن راه حل (*w,r) باید چنان باشد که تجاوز از شرط  tk<tl در حداقل ممکن واقع شود.

ب)  اگر داشته باشیم tk>tl آنگاه مقدار  (t tl) بیانگر مقدار اشتباهی است که شرط مذکور در بند الف مورد تجاوز واقع می شود. از این رو تعریف زیر را مدنظر قرار خواهیم داد:

درجه عدم تناسب

درجه عدم تناسب

بدین صورت (tl-tk) نشان دهنده مقدار اشتباه برای زوج (k,l) می باشد و مجموع این اشتباهات عبارت است از:

p= درجه عدم تناسب = ∑(k,l)∈S ( t– t

مقدار p غیر منفی است لذا جهت مشخص نمودن راه حل (w,r) باید مقدار آن حداقل گردد.

ج) در مقابل P ارزش جدیدی به نام G درجه تناسب به صورت زیر تعریف می گردد.

G= درجه تناسب = ∑(k,l)∈S ( t– t+

درجه تناسب

درجه تناسب

د) راه حل (w,r)  از حل مساله زیر بدست می آید:

الگوریتم اولیه

الگوریتم اولیه

روش LINMAP

این مساله با استفاده از توابع هدف جدید Φk,l و الگوریتم می نی ماکس به صورت زیر تبدیل می شود:

جایگزینی تابع می نی ماکس

جایگزینی با تابع می نی ماکس

ت) حالات استنتاج شده از این مدل

مقدار مدل در حالات مختلف

مقدار مدل در حالات مختلف


مثال روش LINMAP

ماتریس تصمیم زیر را در نظر بگیرید. مقایسات زوجی زیر از طرف تصمیم گیرنده مشخص شده است. به منظور دستیابی به مناسب ترین اوزان و راه حل ایده آل مساله را به روش LINMAP حل کنید.

مجموعه مقایسات زوجی:

S = {(1,2), (3,1), (4,1), (5,1), (2,3), (2,4), (2,5), (4,3), (3,5), (4,5)} | h=1 | landa = 0

X1 X2
A1 ۰ ۵
A2 ۵ ۴
A3 ۰ ۲
A4 ۱ ۳
A5 ۴ ۱

min { z12+ z31+ z41+ z51+ z23+z24+z25+z43+z35+z45}

w1 w2 -۲v1 -۲v2 min v1 v2
(۱,۲) ۲۵ -۱۰ ۲ +z(1,2) ۵
(۳,۱) ۰ ۲۱ ۰ +z(3,1) ۰ ۳
(۴,۱) ۱۶ ۲ +z(4,1) ۲
(۵,۱) -۱۶ ۲۴ ۸ +z(5,1) ۴
(۲,۳) -۲۵ -۱۲ ۱۰ ۴ +z(2,3)
(۲,۴) -۲۴ ۸ ۲ +z(2,4)
(۲,۵) -۱۵ ۲ ۶ +z(2,5)
(۴,۳) ۲ ۲ +z(4,3)
(۳,۵) ۱۶ ۲ +z(3,5) ۴
(۴,۵) ۱۵ ۴ +z(4,5) ۳
sum -۲۰ ۲ ۸ ۴   =h ۱

تابع هدف و ورودی نرم افزار WINQSB

  X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14 dir R.H.S
Min ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰
C1 ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۲۵ -۱۰ ۲ >= ۰
C2 ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۲۱ ۰ >= ۰
C3 ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱۶ ۲ >= ۰
C4 ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ -۱۶ ۲۴ ۸ >= ۰
C5 ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ -۲۵ -۱۲ ۱۰ ۴ >= ۰
C6 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ ۰ -۲۴ ۸ ۲ >= ۰
C7 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۰ -۱۵ ۲ ۶ >= ۰
C8 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۰ ۲ ۲ >= ۰
C9 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۰ ۱۶ ۲ >= ۰
C10 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۱ ۱۵ ۴ >= ۰
C11 ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ -۲۰ ۲ ۸ ۴ = ۱

برای نرمال شدن ضربدر ضریب می کنیم تا عدد w*  و v* ساده شوند.

+z(1,2) +z(3,1) +z(4,1) +z(5,1) +z(2,3) +z(2,4) +z(2,5) +z(4,3) +z(3,5) +z(4,5) w* v* r*
۰٫۲۵ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ۰٫۰۲۷۷ ۰٫۰۵۵۴ ۰٫۰۸۳۳ ۰٫۱۹۴۴ ۳ ۳٫۵
۱ ۲ ۳ ۷

محاسبه فاصله از نقطه ایده آل

محاسبه فاصله از نقطه ایده آل

محاسبه فاصله از نقطه ایده آل

 

r1j’ r2j’ r*1 r*2 w*1 w*2 ti
a1 ۰ ۵ ۳ ۳٫۵ ۱ ۲ ۱۳٫۵
a2 ۵ ۴ ۳ ۳٫۵ ۱ ۲ ۴٫۵
a3 ۰ ۲ ۳ ۳٫۵ ۱ ۲ ۱۳٫۵
a4 ۱ ۳ ۳ ۳٫۵ ۱ ۲ ۴٫۵
a5 ۴ ۱ ۳ ۳٫۵ ۱ ۲ ۱۳٫۵

لذا نقاط a2 و a4 کمترین فاصله را دارند و بهنرین انتخاب ها می باشند.

روش LINMAP