محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

نرخ ناسازگاری (Inconsistency Ratio) شاخصی است که نشان می‌دهد چه میزان مقایسه‌های زوجی انجام شده با هم سازگاری دارند. مقایسه‌های زوجی توسط خبرگان صورت می‌گیرد و در صورتی می‌توان به نتایج مقایسه‌ها اعتماد کرد که این مقایسه‌ها سازگار باشند.

اساس تحلیل در روش‌های فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی (AHP) و فرایند تحلیل شبکه (ANP) بر مقایسه‌های زوجی توسط خبرگان استوار است. بنابراین هرگونه خطا و ناسازگاری در مقایسه عناصر، نتیجه نهایی به دست آمده از محاسبات را تحت تاثیر قرار می‌دهد.

نرخ سازگاری مقایسه‌ها با یک مثال قابل تشریح است. برای نمونه اگر عنصر A نسبت به B ارزش ترجیحی ۳ داشته باشد و عنصر B نسبت به C ارزش ترجیحی ۲ داشته باشد، آنگاه باید انتظار داشت عنصر A نسبت به C ارزش ترجیحی ۶ داشته باشد. یک نمونه مقایسه سازگار و یک نمونه مقایسه ناسازگار در زیر آمده است:

• مقایسه سازگار: الف از ب بهتر است؛ ب از ج بهتر است؛ الف از ج خیلی بهتر است.
• مقایسه ناسازگار: الف از ب بهتر است؛ ب از ج بهتر است؛ ج از الف بهتر است.

شاید بررسی سازگاری مقایسه سه عنصر ساده باشد، اما وقتیکه تعداد مقایسه‌ها افزایش یابد اطمینان از سازگاری مقایسه‌ها به سادگی میسر نبوده و از نرخ سازگاری استفاده می‌شود. تجربه نشان داده است که اگر نرخ سازگاری کمتر از ۰/۱ باشد سازگاری مقایسه‌ها قابل قبول است. در غیر اینصورت مقایسه‌ها باید تجدید نظر شود.

محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

اگر n معیار به شرح C1, C2,…, Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : [A=[a_ij به طوری که i,j=1,2,…,n ،که در آن a_ij ترجیح عنصر c_i را بر c_j نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :  a_ik x ak_{j =} a_ij  آنگاه می گوییم ماتریس سازگار است.

محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

1. محاسبه بردار مجموع وزنی: ماتریس مقایسه‌ زوجی را در بردار ویژه ضرب کنید. بردار جدیدی را که به این طریق بدست می‌آید، بردار مجموع وزنی نامیده می‌شود.
2. محاسبه بردار سازگاری: هر عنصر بردار مجموع وزنی را بر عنصر متناظر در بردار ویژه تقسیم کرده، بردار حاصل بردار سازگاری نامیده می‌شود.
3. برآورد lmax: میانگین عناصر بردار سازگاری lmax را به دست می‌دهد. بیشتر مواقع به جای محاسبه lmax از روش تقریبی میانگین هندسی استفاده می‌شود. پارامتر L مقدار تقریبی lmax است.
4. محاسبه شاخص سازگاری (CI) : اگر تعداد عناصر جدول مقایسه زوجی n باشد، شاخص سازگاری بصورت زیر تعریف می‌شود:
5. محاسبه شاخص تصادفی: شاخص تصادفی بودن از جدول زیر  استخراج می‌شود.

6. محاسبه نرخ سازگاری: نرخ سازگاری از تقسیم شاخص سازگاری بر شاخص تصادفی بدست می‌آید. اگر نرخ سازگاری ۱/۰ یا کمتر باشد مقایسه‌ها سازگار است.

CR = CI / RI

مثال محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

برای ماتریس زیر نرخ سازگاری را محاسبه می کنیم.

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :

• وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
• ویژه برابر طول ماتریس است (AW = nW) .
• ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

قضیه یک) اگر λ1,λ2,..λn مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است:

λi=n∑

قضیه دو) بزرگترین مقدار ویژه λ max همواره بزرگتر یا مساوی n  است (در این صورت برخی از λ ها منفی خواهند بود)

λ_max>=n

قضیه سه) اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت که در آن A x W = λ x W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد.

λmax یک مقدار ویژه برابر n ( بزرگترین مقدار ویژه) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت:

AW=nW

در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3، کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت:

A x W = λmax x W -> λmax -n 

شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1

محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

گام های محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
2. بردار وزن W را مشخص نمایید .
3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی λmax مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
   1. با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی از λmax*W به دست آورید
   2. با تقسیم مقادیر به دست آمده برای λmax.W برW مربوطه تخمین هایی از λmax را محاسبه نمایید .
   3. متوسط λmax به دست آمده را پیدا کنید .
4. مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه روبرو محاسبه می کنیم: شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1
5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : I.R = I.I / I.I.R

مثال: برای ماتریس زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه نمایید.

قدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :