مقایسه میانگین دو بردار

مقایسه میانگین دو بردار

مقایسه میانگین دو بردار
مقایسه میانگین دو بردار

مقایسه میانگین دو بردار

  • آزمون مقایسه دو نمونه با آزمون t در آماره تک متغیره

درحالت یک متغیره یک نمونه تصادفی y1,y2  تا yn از توزیع نرمالN(µ۱۲۱) و نمونه تصادفی دوم  y2  تا yn از توزیع نرمالN(µ۲۲۲)  بدست می آید. فرض براین است که دو نمونه مستقل از یکدیگر هستند و نیز فرض بر آن است که σ۲۲=۱ σ۲= σ۲است و σ۲ نا معلوم می باشد.

 

 

فرض استقلال و تساوی واریانس ها برای استفاده از t2 لازم است. از این رو نمونه Ӯ۱ , Ӯ۲  را بدست می آوریم

سپس

و

را بدست می آوریم.

واریانس مشترک  را به شرح زیر به دست می آوریم:

واریانس مشترک  برآورد کننده نااریب واریانس مشترک σ۲ می باشد یعنی   می باشند.

در این آزمون خواهیم داشت:

H0: µ=µ۰               H1: µ≠µ۰

که دارای توزیع t با درجه آزادی n1+n2-2 می باشند. اگر n1+n2-2 و α/۲ |t| ≥ t باشد فرض صفر رد می شود.

  • آزمون T2 دو نمونه ای چند متغیره

در اینجا دو نمونه داریم و از هریک از افراد نمونه P متغیر اندازه می گیریم.آزمون فرض به صورت زیر است:

H0: µ=µ۰               H1: µ≠µ۰

در اینجا از (NP۱,∑۱ یک نمونه تصادفی اول و از نمونه تصادفی دوم (NP۲,∑۲ بدست می آید. فرض بر آن است که دو نمونه مستقل از یکدیگر هستند و ∑=∑۱=∑۲ می باشد و مقدار آن نامعلوم است. برای اینکه T2 دارای توزیع T2 باشد. این فرضیات لازم است.

فرض کنید ماتریس های مجموع مربعات و مجموع حاصلضرب ها برای دو نمونه را با W1  و W2 نمایش می دهیم در آن صورت خواهیم داشت:

بنابراین (E(Sp1=∑ می باشد. مجذور آماره t به صورت زیر است:

اگر به جای اگر به جای(Ӯ۲۱Ӯ) بردارهای (Ӯ۲۱Ӯ) و به جای S2p1 ماتریس واریانس-کواریانس مشترک یعنی Sp1 را قرار دهیم خواهیم داشت:

که دارای توزیع T2P,n1+n2-2 می باشد. اگرT2 ≥ T2P,n1+n2-2  باشد فرض H0 رد می شود.

خصوصیات کلیدی آزمون T2

  • برای اینکه Sp1 non-singular باشد لازم است n1+n2-2>P باشد.
  • آماره T2 یک اسکالر است.
  • نظر به اینکه حد پایین T2 صفر است و حد بالاتری وجود ندارد چگالی دارای چولگی است. در واقع T2 مستقیما با F در ارتباط است که یک توزیع دارای چولگی است.
  • درجه آزادی T2 چند متغیره مثل درجه آزادی t یک متغیره یعنی برابر n1+n2-2 می باشد.
  • آماره T2 را می توان با فرمول زیر به F تبدیل نمود:

  و یا   

مثال: دو صفت بر روی هشت ژنوتیپ در دو شرایط آبی و دیم اندازه گیری شد. هر ۴ ژنوتیپ به طور تصادفی در معرض یکی از شرایط قرار گرفت. نتایج به شرح زیر است:

آبی دیم
ژنوتیپ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸
صفت یک ۱۳۱٫۵ ۱۴۵ ۱۴۱ ۱۵۰ ۴۰٫۵ ۸۰ ۵۰ ۹۰
صفت دو ۹ ۱۲ ۳۰ ۳۶ ۵۴ ۷۴٫۵ ۶۴٫۵ ۶۰٫۵

 

میانگین های شرایط آبی(Ẍ) و شرایط دیم(Ӯ) به شرح زیر است.

X ۱۴۱٫۸۷۵ Y ۶۵٫۱۲۵
۲۱٫۷۵ ۶۳٫۳۷۵

ماتریس های واریانس- کواریانس شرایط آبی(S1) و شرایط دیم (S2) به شرح زیر است:

S1 ۶۱٫۴ ۷۰٫۱۳ S2 ۵۵۸٫۴ ۱۰۲٫۶
۷۰٫۱۳ ۱۷۶٫۲۵ ۱۰۲٫۶ ۷۳٫۷۳

لذا فرض صفر رد می شود.

0 نظرات

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *