روش جستجوی طلایی

روش جستجوی طلایی یک روش عددی برای یافتن حداقل یا حداکثر یک تابع تک متغیره در یک بازه مشخص است. این روش از نسبت طلایی (1.618) برای تقسیم بازه جستجو به دو قسمت استفاده می کند.

روش های جستجویی که ما در این بخش و بخش بعدی مورد بحث قرار می دهیم به منظور تعیین کمینه تابع f: R-> R بر روی بازه بسته بکار می رود به طوری که [a₀ ,b₀] . تنها ویژگی که ما برای تابع هدفf  فرض می نماییم تک مدی بودن آن است، به این معنی که f  فقط داری یک مینیمم محلی است. مثالی از چنین تابعی در شکل روبرو نشان داده شده است.

روش جستجوی طلایی

الگوریتم حل روش جستجوی طلایی

روش جستجوی طلایی در مورد ارزیابی تابع هدف در نقاط مختلف بازه [a₀ ,b₀] می باشد. این نقاط را چنان انتخاب می نماییم که یک تقریب ممکن به نقطه کمینه را با چند ارزیابی ممکن به دست آورد . هدف محدود کردن تدریجی دامنه با دقت کافی  به منظور قرار گرفتن کمینه در بازه مد نظر می باشد.

تابع تک مدی f را با یک متغیر و بازه [a₀ ,b₀] در نظر بگیرید. اگر f را فقط در یک نقطه میانی از بازه در نظر بگیریم قادر نخواهیم بود در میان این طیف گسترده کمینه را  قرار دهیم لذا باید به منظور ارزیابی f تابع را در دو نقطه میانی همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است در نظر بگیریم.

نقاط میانی را چنان انتخاب می نماییم که کاهش در محدوده متقارن باشد، به این معنا که

a₁ – a₀ = b₀ – b₁ = p (b₀ – a₀)    به طوری که         p< 0.5

سپس به ارزیابی تابع f در نقطه میانی می پردازیم. اگر f(a₁)<f(b₁)  باشد، کمینه در بازه [a₀, b₁] نهفته است.

از سوی دیگر، اگر (f(a₁)≥f(b₁  باشد، کمینه در بازه [a₁, b₀] قرار گرفته است. درادامه با کاهش دامنه عدم قطعیت، ما می توانیم این روند را تکرار و به همین ترتیب دو نقطه جدید a₂  و b₂  را با مقدار p=0.5 پیدا نماییم. در عین حال، ما علاقمندیم که تعداد ارزیابی تابع هدف را در حالی که بازه عدم قطعیت را کاهش می دهیم کمینه نماییم.

برای مثال فرض کنید که (f(a₁)<f(b₁  باشد. ما می دانیم نقطه بهینه x* متعلق به بازه [a₀, b₁]  خواهد بود. از آنجا که a₁  در حال حاضر در فاصله عدم اطمینان است و f  تابعی شناخته شده،  می توانیم a₁ را با b₂ یکی و منطبق بر هم در نظر بگیریم. بنابراین، تنها یک ارزیابی جدید از تابع f در نقطه a₂ ضروری خواهد بود. برای پیدا کردن مقدار p که منجر به تنها یک ارزیابی جدید گردد شکل زیر را مشاهده نمایید.

 بدون از دست دادن کلیت، تصور کنید که محدوده اصلی [a₀ ,b₀] طول واحد است. لذا به منظور داشتن تنها یک ارزیابی از f کافی است که p  مناسب را انتخاب نماییم.

P (b₁– a₀) = b₁ – b₂

از آنجایی که مقدار b₁ – b₀ = 1- p  و مقدار b₁ – b₂ = 1 -2p می باشد، لذا خواهیم داشت:

P (1 – p) = 1 – 2p *

تابع درجه دوم عبارت فوق را به صورت زیر می نویسیم:

P²‑3p+1=0   ->             p1 = (3+√5)/2  , p2 = (3-√5)/2

از آنجایی که مقدار p<0.5 را نیاز خواهیم داشت مقدار p2 =0.382 را در نظر می گیریم. با جایگزینی مقدار تابع در عبارت * مشاهده می کنیم که p/(1-P) = (1-p)/1 خواهد بود. از این عبارت در یونان باستان به عنوان قانون طلایی یاد شده است.

استفاده از بخش قانون طلایی بدان معنی است که در هر مرحله از کاهش دامنه عدم قطعیت (به جز بازه اول)، تابع هدف f تنها نیاز به ارزیابی در یک نقطه جدید را دارد. یعنی در هر مرحله از کاهش، محدوده عدم قطعیت با نرخ –p = 0.61803 1 کاهش می یابد. از این رو، N مرحله کاهش با استفاده از روش طلایی با نرخ زیر کاهش خواهد یافت:

(1 – p)^N = (0.61803)^N

مزایای روش جستجوی طلایی

روش جستجوی طلایی یک روش عددی برای یافتن حداقل یا حداکثر یک تابع تک متغیره در یک بازه مشخص است. این روش از مزایای زیر برخوردار است:

سادگی:

• روش جستجوی طلایی بسیار ساده و قابل فهم است.
• پیاده سازی آن در برنامه های کامپیوتری آسان است.
• نیاز به دانش ریاضی پیچیده ای ندارد.

عدم نیاز به مشتق:

• برخلاف برخی روش های دیگر مانند روش نیوتن-رافسون، روش جستجوی طلایی نیازی به مشتق تابع ندارد.
• این مزیت در مواردی که محاسبه مشتق تابع دشوار یا غیرممکن است، بسیار مفید است.

همگرایی:

• روش جستجوی طلایی به طور همگرا به نقطه بهینه نزدیک می شود.
• به عبارت دیگر، با تکرار مراحل روش، به تدریج به نقطه ای می رسیم که تابع در آن نقطه به حداقل یا حداکثر خود می رسد.

قابلیت اطمینان:

• روش جستجوی طلایی یک روش قابل اعتماد و robust است.
• این روش در بسیاری از مسائل مختلف به طور موفقیت آمیز به کار گرفته شده است.

معایب روش جستجوی طلایی

روش جستجوی طلایی، مانند هر روش دیگری، معایبی هم دارد که باید قبل از استفاده از آن در نظر گرفته شود:

سرعت:

• روش جستجوی طلایی کندتر از برخی روش های دیگر مانند روش نیوتن-رافسون است.
• این روش از نظر سرعت بهینه نیست و ممکن است برای حل مسائل پیچیده زمان زیادی را صرف کند.

دقت:

• دقت روش جستجوی طلایی به طور کلی کمتر از روش های دیگر مانند روش نیوتن-رافسون است.
• این روش ممکن است برای یافتن دقیق نقطه بهینه مناسب نباشد.

محاسبات:

• روش جستجوی طلایی به محاسبات بیشتری نسبت به برخی روش های دیگر مانند روش تنظیم خطی نیاز دارد.
• این امر می تواند در مسائل بزرگ و پیچیده مشکل ساز باشد.

محدودیت به توابع تک متغیره:

• روش جستجوی طلایی فقط برای توابع تک متغیره قابل استفاده است.
• برای توابع چند متغیره باید از روش های دیگر مانند روش های گرادیان یا روش های تکرار نقطه ثابت استفاده کرد.

محدودیت به بازه جستجو:

• روش جستجوی طلایی فقط در یک بازه جستجو مشخص قابل استفاده است.
• یافتن بازه جستجو مناسب می تواند دشوار باشد و بر دقت و کارایی روش تاثیر بگذارد.

در مجموع، روش جستجوی طلایی یک روش ساده و قابل فهم است، اما سرعت و دقت آن به اندازه برخی روش های دیگر مانند روش نیوتن-رافسون نیست.

کاربردهای روش جستجوی طلایی

روش جستجوی طلایی، به دلیل مزایای ذکر شده، در زمینه های مختلف کاربرد دارد.

برخی از کاربردهای این روش عبارتند از:

• یافتن ریشه معادلات غیرخطی: روش جستجوی طلایی می تواند برای یافتن ریشه معادلات غیرخطی تک متغیره به کار رود.
• بهینه سازی توابع: از این روش می توان برای یافتن حداقل یا حداکثر توابع تک متغیره در مسائل مختلف مهندسی و علمی استفاده کرد.
• مسائل مالی: روش جستجوی طلایی در مسائل مالی مانند تحلیل سهام، مدیریت ریسک و قیمت گذاری اوراق قرضه کاربرد دارد.
• مهندسی: از این روش در مهندسی برای حل مسائل مختلفی مانند طراحی سازه ها، تحلیل سیستم ها و کنترل فرآیندها استفاده می شود.
• علوم کامپیوتر: روش جستجوی طلایی در علوم کامپیوتر برای حل مسائل مختلفی مانند هوش مصنوعی، یادگیری ماشین و پردازش تصویر کاربرد دارد.

چند نمونه از کاربردهای روش جستجوی طلایی در دنیای واقعی

• طراحی آنتن: از روش جستجوی طلایی برای یافتن بهترین ابعاد و شکل آنتن برای حداکثر رساندن قدرت سیگنال استفاده می شود.
• طراحی موتور هواپیما: از این روش برای یافتن بهترین شکل و ابعاد پره های موتور هواپیما برای افزایش راندمان و کاهش مصرف سوخت استفاده می شود.
• طراحی ربات: از روش جستجوی طلایی برای یافتن بهترین پارامترهای کنترلی ربات برای انجام وظایف مختلف استفاده می شود.
• تشخیص چهره: از این روش برای یافتن بهترین ویژگی های چهره برای تشخیص چهره افراد استفاده می شود.

در مجموع، روش جستجوی طلایی یک روش قدرتمند و انعطاف پذیر است که در طیف وسیعی از مسائل مختلف کاربرد دارد. در ادامه می توانید مثال روش جستجوی طلایی را مشاهده نمایید.

از مشاوره با ما پشیمان نمی شوید

خدمات فرابگیر

1. تبلیغات در فضای مجازی گوگل، اینستاگرام و فیس بوک.
2. مدیریت صفحات اجتماعی اینستاگرام و فیس بوک.
3. برنامه نویسی حرفه ای با جدیدترین متدهای روز دنیا
4. طراحی وب سایت و سئو نمودن مطالب با جدیدترین راهکارها برای بازدید حداکثری مطالب
5. خدمات طراحی سربرگ؛ کار ویزیت، لوگو و بسته مدیریتی
6. پروژهای دانشجویی در زمینه تحقیق در عملیات، آمار و تصمیم گیری چندمعیاره
7. آموزش مجازی برای کاربران در زمینه های درخواستی دوره های موجود در وب سایت

باعث افتخارست که مجموعه ما تا کنون بیش از ۱۲۰۰۰ پروژه موفق در زمینه های متخلف ارائه نموده است که با مراجعه به بخش نمونه کارها در دسترس شما عزیزان قرار گرفته است. در صورتی که تصور می کنید پروژه مورد نظر شما در این دسته بندی ها قرار ندارد با تماس با تیم حرفه ای ما می توانید از مشاوره رایگان بهره مند گردید.