روش برنامه ریزی آرمانی

در دنیای واقعی، تصمیم گیری اغلب با چالش انتخاب بهترین گزینه از میان مجموعه ای از گزینه ها همراه است، که هر کدام مزایا و معایب خاص خود را دارند. در بسیاری از این سناریوها، با تصمیم گیری های چندهدفه روبرو هستیم، جایی که باید به طور همزمان چندین هدف (گاهی متضاد) را در نظر بگیریم و راه حلی پیدا کنیم که به بهترین وجه به آنها دست یابد.

برخلاف روش های سنتی تصمیم گیری چند معیاره (MCDM) که صرفاً به رتبه بندی گزینه ها می پردازند، برنامه ریزی آرمانی (Goal Programming) ابزاری قدرتمند برای یافتن راه حل های بهینه در این گونه مسائل ارائه می دهد.

در این مقاله، به بررسی جامع مفاهیم کلیدی، مزایا، مراحل، کاربردها و نکات کلیدی در برنامه ریزی آرمانی می پردازیم. همچنین، به منظور درک عمیق تر این موضوع، سوالات متداول و پیشنهادات کاربردی در انتهای مقاله ارائه خواهد شد.

مفاهیم کلیدی در برنامه ریزی آرمانی

• برنامه‌ریزی آرمانی را می‌توان به‌عنوان یک بسط یا تعمیم برنامه‌ریزی خطی برای رسیدگی به اقدامات هدفی متعدد و معمولاً متضاد در نظر گرفت.
• به هر یک از این اقدامات یک هدف یا ارزش هدف داده می شود که باید به آن دست یافت.
• سپس انحرافات ناخواسته از این مجموعه از مقادیر هدف، در یک تابع دستاورد به حداقل می رسد. این می تواند یک بردار یا یک جمع وزنی وابسته به نوع برنامه ریزی هدف مورد استفاده باشد.
• از آنجایی که در نظر گرفته می‌شود که رضایت از هدف، تصمیم گیرندگان (تصمیم‌گیرندگان) را راضی می‌کند، یک فلسفه رضایت‌بخش زیربنایی فرض می‌شود.
• برای انجام مدل برنامه ریزی هدف، سه نوع تحلیل استفاده می شود:
  • تعیین منابع مورد نیاز برای دستیابی به مجموعه ای از اهداف مورد نظر.
  • تعیین میزان دستیابی به اهداف با منابع موجود.
  • ارائه بهترین راه حل رضایت بخش تحت مقدار متفاوتی از منابع و اولویت های اهداف.

مزایای برنامه ریزی آرمانی

• انعطاف پذیری: برنامه ریزی آرمانی به شما امکان می دهد تا با مجموعه ای از اهداف متضاد یا همسو کار کنید و در عین حال محدودیت ها و شرایط واقعی را نیز در نظر بگیرید. این انعطاف پذیری، برنامه ریزی آرمانی را به ابزاری مناسب برای تصمیم گیری در دنیای واقعی تبدیل می کند.
• واقع گرایی: به جای تمرکز بر اهداف آرمانی و غیرقابل دسترس، به دنبال سطوح مطلوب واقع بینانه برای هر هدف است. این رویکرد واقع گرایانه، برنامه ریزی آرمانی را از سایر روش های MCDM که ممکن است بر اهداف آرمانی غیرقابل دستیابی تمرکز کنند، متمایز می کند.
• شفافیت: با استفاده از وزن ها، اولویت نسبی هر هدف به طور شفاف مشخص می شود. این شفافیت به تصمیم گیرندگان کمک می کند تا اولویت های خود را به طور واضح بیان کنند و تاثیر آنها را بر نتایج نهایی مشاهده کنند.
• قابلیت تجزیه و تحلیل: نتایج مدل های برنامه ریزی آرمانی به راحتی قابل تجزیه و تحلیل و تفسیر هستند که به شما امکان می دهد بینش های ارزشمندی در مورد فرآیند تصمیم گیری خود به دست آورید. این قابلیت تجزیه و تحلیل به شما کمک می کند تا از نتایج به طور موثر برای بهبود تصمیمات خود استفاده کنید.

محدودیت های برنامه ریزی آرمانی

با وجود مزایای فراوان، برنامه ریزی آرمانی نیز محدودیت هایی دارد که باید در نظر گرفته شود:

• پیچیدگی: در برخی موارد، حل مدل برنامه ریزی آرمانی می تواند پیچیده باشد و به مهارت های ریاضی بالایی نیاز داشته باشد.
• عدم قطعیت: ممکن است سطوح آرمانی و اولویت های تعیین شده دقیق نباشند و این امر بر کیفیت راه حل نهایی تاثیر بگذارد.
• وابستگی به داده ها: برنامه ریزی آرمانی به داده های دقیق در مورد اهداف و محدودیت ها نیاز دارد.

کاربردهای برنامه ریزی آرمانی

برنامه ریزی آرمانی در زمینه های مختلف کاربرد دارد، از جمله:

• انتخاب سبد سرمایه گذاری: انتخاب بهترین سبد سرمایه گذاری با توجه به معیارهای مختلف مانند ریسک، بازده و نقدینگی.
• حل مسائل مکان یابی: یافتن بهترین مکان برای احداث یک تاسیسات جدید با در نظر گرفتن معیارهای مختلف مانند دسترسی به مواد اولیه، نزدیکی به بازار و هزینه حمل و نقل.
• برنامه ریزی پروژه: برنامه ریزی و کنترل پروژه ها با توجه به معیارهای مختلف مانند زمان، هزینه و کیفیت.
• انتخاب تامین کننده: انتخاب بهترین تامین کننده برای یک محصول یا خدمات با در نظر گرفتن معیارهای مختلف مانند قیمت، کیفیت و قابلیت اطمینان.
• مدیریت زنجیره تامین: مدیریت زنجیره تامین با توجه به معیارهای مختلف مانند هزینه، زمان و خدمات به مشتری.
• انتخاب محل احداث تاسیسات تولیدی: یافتن بهترین مکان برای احداث یک تاسیسات تولیدی جدید با در نظر گرفتن معیارهای مختلف مانند دسترسی به مواد اولیه، نیروی کار و بازار.
• مسائل زیست محیطی: حل مسائل زیست محیطی مانند آلودگی هوا و آب با در نظر گرفتن معیارهای مختلف مانند هزینه، اثرات زیست محیطی و رضایت ذینفعان.
• برنامه ریزی آموزشی: برنامه ریزی آموزشی با توجه به معیارهای مختلف مانند کیفیت آموزش، دسترسی به آموزش و هزینه آموزش.
• برنامه ریزی شهری: برنامه ریزی شهری با توجه به معیارهای مختلف مانند تراکم جمعیت، زیرساخت ها و کیفیت زندگی.
• مدیریت منابع طبیعی: مدیریت منابع طبیعی مانند آب، جنگل و معادن با در نظر گرفتن معیارهای مختلف مانند پایداری، بهره وری و عدالت.

اصطلاحات روش برنامه ریزی آرمانی

تصمیم گیرنده

تصمیم گیرنده یا تصمیم گیرندگان به شخص(ها)، سازمان(ها) یا ذینفعان مربوط می شود که مشکل تصمیم مورد بررسی به آنها تعلق دارد.

متغیر تصمیم

متغیر تصمیم به عنوان عاملی تعریف می شود که تصمیم گیرنده بر آن کنترل دارد. مجموعه متغیرهای تصمیم به طور کامل مساله را توصیف می کند و تصمیمی را که باید گرفته شود را شکل می دهد. هدف از مدل برنامه‌ریزی آرمانی را می‌توان جستجوی همه ترکیب‌های ممکن از مقادیر متغیر تصمیم (که به عنوان فضای تصمیم‌گیری شناخته می‌شود) به منظور تعیین نقطه‌ای که اهداف و محدودیت‌های تصمیم‌گیرنده را به بهترین شکل برآورده می‌کند، در نظر گرفت.

معیار

معیار واحدی است که با آن می توان خوب بودن هر راه حلی برای یک مسئله تصمیم گیری را سنجید. معیارهای ممکن زیادی وجود دارند که از زمینه های مختلف کاربردی ناشی می شوند، اما برخی از رایج ترین آنها در بالاترین سطح به

• هزینه
• سود
• زمان
• فاصله
• عملکرد یک سیستم
• شرکت یا استراتژی سازمانی
• ترجیحات شخصی تصمیم گیرنده (گان)
• ملاحظات ایمنی

مساله تصمیم گیری چندمعیاره

یک مساله تصمیم گیری که بیش از یک معیار دارد را به عنوان یک مساله تصمیم گیری چند معیاره (MCDM) یا یاری کننده تصمیم گیری چند معیاره (MCDA) می نامند. فضایی که توسط مجموعه معیارها تشکیل می شود به عنوان فضای معیار شناخته می شود.

سطح رضایتمندی

مقدار عددی تعیین شده توسط تصمیم گیرنده که نشان دهنده تمایل یا سطح رضایت بخش او با توجه به تابع هدف مورد نظر است. به عنوان مثال، فرض کنید شرکت مایل به حداکثر رساندن سود است که به صورت زیر فرموله شده است:

(1) Max Z = 2×1+3×2

بعلاوه فرض کنید مدیریت می خواهد حداقل 40000 به عنوان سود داشته باشد، پس هدف ذکر شده در بالا الزامی است. -نوشته شده به صورت:

2×1+3×2>=40.000 (2)

در اینجا، 40,000 سطح رضایتمندی با توجه به سود است.

هدف

یک تابع هدف همراه با سطح آرزوی آن هدف نامیده می شود. به عنوان مثال، رابطه (1) یک تابع هدف است در حالی که رابطه (2) یک هدف است.

انحراف از هدف

تفاوت بین آنچه در واقع به دست می آوریم و آنچه می خواهیم به آن برسیم. دو نوع انحراف هدف وجود دارد:

• انحراف مثبت یا بیش از حد
• انحراف منفی یا کم از حد

به طور کلی اهداف را می توان به سه صورت تعریف کرد:

به طور کلی، برای برنامه ریزی هدف صرف نظر از نوع هدف می توانیم از هر دو انحراف برای هر مورد استفاده کنیم. با این حال، برای دو مورد اول لازم است فقط یکی از انحرافات به حداقل برسد.

فرمول نویسی برنامه ریزی آرمانی

• انحرافات مطلوب در مقابل نامطلوب: (بستگی به اهداف دارد)
  • حداکثر اهداف (≥) – هر چه بیشتر بهتر -(di+) یا Pi مطلوب.
  • حداقل اهداف (≤) – هر چه کمتر بهتر -(di-) یا Ni نامطلوب.
  • اهداف دقیق (=) – دقیقاً برابر – هر دو-(di+) یا Pi مطلوب و -(di-) یا Ni نامطلوب.
• در همه موقعیت ها ابتدا انحراف نامطلوب عبارت را در هدف شناسایی می کنیم و سپس سعی می کنیم همان را به حداقل برسانیم.
• در GP، هدف به حداقل رساندن مجموع (وزن دار) انحرافات نامطلوب (همه نامطلوب Di+ (یا Pi ) و -Di (یا Ni) برابر صفر است.
• برای هر هدف، حداقل یکی ازDi+ (یا Pi) و Di- (یا Ni) باید برابر با “0” باشد.
• یک راه حل بهینه زمانی حاصل می شود که تمام اهداف تا حد ممکن به سطح آرزوی خود نزدیک شوند، در حالی که مجموعه ای از محدودیت ها را برآورده می کنند.

انواع برنامه ریزی آرمانی

در مجموع، حل مسائل برنامه‌ریزی آرمانی می‌تواند از طریق هشت رویکرد مختلف انجام شود؛ از روش‌های ساده وزن‑دهی تا ترکیب پیشرفتهٔ روش حنان با الگوریتم‌های تکاملی و یادگیری ماشین. انتخاب رویکرد مناسب بستگی به ویژگی‌های خاص مسئله دارد: تعداد اهداف، نوع روابط (خطی یا غیرخطی)، حجم داده‌ها و محدودیت‌های محاسباتی.

1. برنامه‌ریزی آرمانی بدون رتبه (Un-ranked Ideal Programming): در این حالت هدف‌ها به‌صورت مساوی در نظر گرفته می‌شوند؛ یعنی هیچ وزن یا اولویتی پیش‌فرض برای هدفی تعیین نمی‌شود.
2. برنامه‌ریزی آرمانی رتبه‌بندی‌دار (Ranked Ideal Programming: در این روش به هر هدف وزن یا رتبه مشخص می‌شود و سپس با استفاده از توابع ترکیبی (مانند وزن‌دهی یا توابع فاصله) سعی می‌شود کمینه‌سازی فاصله به نقطه ایده‌آل انجام گیرد.
3. روش نارایسمهان (Naraysmahan Method): یک رویکرد ترکیبی کمتر شناخته شده، مناسب برای مسائل چندهدفه با نیاز به یافتن راه‌حل‌های آرمانی.
4. ترکیب روش حنان با بهینه‌سازی تکاملی: استفاده از روش حنان برای هدایت و تسریع الگوریتم‌های تکاملی در فضای جستجو.
5. روش محدودیت اپسیلون (Epsilon-Constraint Method): مناسب برای مسائلی که یک هدف واضحاً مهم‌تر است و نیاز به کنترل دقیق بر روی اهداف دیگر وجود دارد.
6. الگوریتم‌های تکاملی (Evolutionary Algorithms): (مانند الگوریتم ژنتیک، بهینه‌سازی ازدحامی ذرات) برای مسائل پیچیده با فضای جستجوی بزرگ و غیرخطی.
7. روش‌های مبتنی بر توابع فاصله (Distance-Based Methods): (مانند فاصله اقلیدسی، من‌هتن، چبیشف) برای کمینه‌سازی فاصله بین راه‌حل و نقطه ایده‌آل.
8. روش‌های مبتنی بر برنامه‌ریزی ریاضی (Mathematical Programming): (مانند برنامه‌ریزی خطی و غیرخطی) برای مسائل با ساختار ریاضیاتی مشخص و قابلیت استفاده از حل‌کننده‌های بهینه‌سازی.
9. روش‌های هیبریدی و یادگیری ماشین: (ترکیب با یادگیری تقویتی، شبکه‌های عصبی) رویکردهای نوآورانه برای مسائل پیچیده با داده‌های تاریخی فراوان.

1) برنامه‌ریزی آرمانی وزنی (بدون اولویت)

در این نوع مسائل سعی می‌کنیم مجموع وزنی تمام انحرافات نامطلوب را به حداقل برسانیم. در این نوع گفته می شود که هیچ هدفی بر هیچ هدف دیگری تسلط ندارد. با این حال، ممکن است اهمیت متفاوتی برای انحرافات توسط تصمیم گیرندگان داشته باشد. به عنوان مثال، اجازه دهید مسئله برنامه ریزی خطی چندهدفه زیر را در نظر بگیریم :

با فرض اینکه تصمیم گیرنده بخواهد حداقل 40000 سود داشته باشد و هزینه نباید از حد 20000 که به صورت زیر نمایش داده می شود تجاوز کند می تواند به یک مسئله برنامه ریزی آرمانی تبدیل شود.

موارد فوق بیانگر مساله برنامه ریزی آرمانی وزنی غیر اولویت دار است.

2) برنامه‌ریزی آرمانی رتبه بندی دار (اولویت دار)

فرض کنید در مسئله فوق پس از آگاهی از این واقعیت که سناریوی چندهدفه محدود به چنین راه حلی است که هر دو هدف را به طور همزمان برآورده کند، سپس تصمیم گیرندگان اولویت های هر دو هدف را مشخص می کنند.

فرض کنید در مسئله GP1 هدف اول داشتن اولویت بالاتر است، مثلاً 1، و هدف دوم داشتن اولویت کمتر است، مثلاً P2، یعنی 1 > 2. در این وضعیت، مساله GP1 به صورت زیر نوشته می شود GP2:

موارد فوق بیانگر مساله برنامه ریزی آرمانی رتبه بندی دار (اولویت دار) است.

3) روش نارایسمهان (Naraysmahan Method)

روش نارایسمهان یک چارچوب ترکیبی است که وزن‌سازی پویا و تجزیه‌وتحلیل تراکم شبیه به روش حنان را در یک حلقه بازخوردی ترکیب می‌کند. این روش برای مسائل برنامه‌ریزی آرمانی که هدفشان یافتن یک راه‌حل نزدیک به نقطهٔ ایده‌آل است، به‌ویژه وقتی اهداف متضاد و مقیاس‌های متفاوت دارند، مفید است.

با اجرای گام‌های زیر (تعریف اهداف، وزن‌سازی پویا، به‌روزرسانی وزن‌ها بر پایهٔ تراکم) می‌توانید به‌سرعت به ناحیهٔ آرمانی همگرا شوید؛ در عین حال می‌توانید این چارچوب را با الگوریتم‌های تکاملی، بهینه‌سازی ریاضی یا حتی یادگیری ماشین ترکیب کنید تا عملکرد را بهبود بخشید.

4) روش حنان با بهینه‌سازی تکاملی

چندی پس از روش نارایسمهان (در این روش جواب یک مساله آرمانی با K  آرمان فازی و n  م متغیر تصمیم را با استفاده از 2^k  زیر مساله فرعی برنامه ریزی خطی بدست می آورد که هر زیر مساله دارای 3k  محدودیت و n+1  متغیر است).

حنان ثابت کرد که یک مدل برنامه ریزی خطی با 2k  محدودیت و n+2k+1 متغیر برای حل مساله برنامه ریزی آرمانی فازی کفایت می کند. حنان مدل مورد خود را به صورت زیر پیشنهاد کرد:

که در آن  Δ_i بازه تحمل است. محدودیت λ + n_i + p_i ≤1 متضمن آن است که مقدار λ در بازه[0,1]   باقی می ماند و با نزدیک شدن λ به یک، میزان انحراف به سمت دستیابی به آرمان iام مینیمم می گردد. حنان برای حالتی که اهداف دارای وزن های متفاوت هستند، مدل زیر را پیشنهاد می کند. حنان برای حالتی که اهداف دارای وزن های متفاوت هستند مدل زیر را پیشنهاد می کند.

که در آن w_i  درجه اهمیت هر یک از انحرافات نامساعد مربوط به آرمان های فازی است.

---

نکات مهم در مورد برنامه ریزی آرمانی

دو نوع محدودیت در یک مسئله برنامه ریزی آرمانی وجود دارد: محدودیت های نرم و محدودیت های سخت (یا صلب).

• محدودیت های نرم، محدودیت های مربوط به اهدافی هستند که با استفاده از آرزوها برای توابع هدف به دست آمده اند. به عنوان مثال دو قید اول در مسائل فوق (GP1، GP2) قیود نرم هستند.
• محدودیت‌های سخت، محدودیت‌های مربوط به منطقه امکان پذیر یا محدودیت‌های اصلی هستند که در آن هیچ تخلفی قابل قبول نیست. به عنوان مثال قیود در مسئله MOP1، قیود سخت در مسائل بالا هستند GP2، GP1.

مثال روش برنامه ریزی آرمانی » وزنی (بدون اولویت)

باهریسون الکتریک دو محصول محبوب بین تعمیرکاران خانه، لوسترهای قدیمی و پنکه های سقفی تولید می کند. هم لوسترها و هم پنکه ها به یک فرآیند تولید دو مرحله ای شامل سیم کشی و مونتاژ نیاز دارند.

سیم کشی لوستر حدود 2 ساعت و سیم کشی فن 3 ساعت طول می کشد. مونتاژ نهایی لوستر و فن به ترتیب 6 و 5 ساعت زمان نیاز دارد. قابلیت تولید به گونه ای است که تنها 12 ساعت سیم کشی و 30 ساعت زمان مونتاژ در دسترس است. هزینه تولید هر لوستر 7 دلار و هر پنکه 6 دلارمی باشد. مدیریت هریسون می‌خواهد با اولویت‌های داده شده به اهداف زیر دست یابد:

• هدف اول: تا حد امکان به سودی بالاتر از 30 دلار برسید.
• هدف دوم: به طور کامل از ساعات در دسترس بخش سیم کشی استفاده کنید.
• هدف سوم: از اضافه کاری بخش مونتاژ خودداری کنید.
• هدف چهارم: حداقل 7 پنکه سقفی تولید کنید.

با استفاده از روش ترسیمی مسئله برنامه ریزی آرمانی وزنی (بدون اولویت) فوق را فرموله و حل می کنیم.

فرموله کردن مثال مساله برنامه ریزی آرمانی » وزنی (بدون اولویت)

درنظر بگیرید x1 عدد لوستری باشد که در هفته تولید می شود و x2 عدد پنکه سقفی در هفته تولید شود، سپس مساله فوق را می توان به صورت زیر فرمول بندی کرد:

برای حل این مساله، یک محدودیت را در هر گام ترسیم می کنیم که با محدودیتی که بالاترین اولویت را دارد شروع می کنیم.

گام اول

در این مورد ما با محدودیت سود شروع می کنیم زیرا دارای متغیر d1- با بالاترین اولویت P1 است. توجه داشته باشید که در ترسیم نمودار این محدودیت ها، متغیرهای انحرافی نادیده گرفته می شوند. برای به حداقل رساندن d1-، ناحیه سایه‌دار منطقه امکان پذیر است.

گام دوم

گام بعدی ترسیم هدف اولویت دوم به حداقل رساندن d2- است. ناحیه زیر خط محدودیت 2×1+3×2=12 مقادیر d2- را نشان می دهد در حالی که ناحیه بالای خط بیانگر d2+ است. برای جلوگیری از کم استفاده شدن از ساعات موجود، از منطقه زیر خط خودداری شود. نمودار زیر منطقه امکان پذیر مشترک هر دو هدف را نشان می دهد.

گام سوم

هدف سوم این است که از زیاده روی در ساعات مونتاژ جلوگیری شود. بنابراین می‌خواهیم d3+ تا حد امکان به صفر نزدیک شود. این هدف را می توان همانطور که در شکل نشان داده شده است به دست آورد زیرا دارای منطقه امکان پذیر مشترک با دو هدف قبلی است.

هدف چهارم به دنبال به حداقل رساندن d4- است. برای انجام این کار نیاز به حذف ناحیه زیر خط محدودیت x2=7 است که امکان پذیر نیست زیرا اهداف قبلی اولویت بیشتری دارند.

گام چهارم

راه حل بهینه باید سه هدف اول را برآورده کند و تا حد ممکن به هدف چهارم نزدیک شود. این نقطه A در نمودار با x1=0 و x2=6 خواهد بود.

با جایگزینی به قیود جواب های زیر را پیدا می کنیم.

d1-=0 , d1+=6, d2-=0, d2+=6, d3-=0, d3+=0, d4-=1, d4+=0

سود 36 دلاری به دست می آید که فراتر از هدف است.

نکات مهم مثال روش برنامه ریزی آرمانی وزنی (بدون اولویت)

1. اهداف مسئله را به ترتیب اهمیت (یعنی اولویت بندی) رتبه بندی کنید.
2. نقاط راه حل عملی که محدودیت های مسئله را برآورده می کنند، شناسایی کنید.
3. روش حل یک هدف را در یک گام در نظر می گیرد که با بالاترین اولویت شروع می شود و با کمترین آن خاتمه می یابد. این فرآیند به گونه ای انجام می شود که راه حل به دست آمده از یک هدف با اولویت پایین تر هرگز راه حل های با اولویت بالاتر را تنزل نمی دهد.
   همه راه حل های عملی را که به بالاترین اولویت دست می یابند، شناسایی کنید. اگر هیچ راه حل عملی به هدف بالاترین اولویت دست پیدا نکرد، راه حل(هایی) که به دستیابی به آن نزدیکتر است را شناسایی کنید. اجازه دهید بالاترین اولویت، G1، به مقدار G1 = G1* برسد.
4. یک سطح اولویت به پایین حرکت کنید. محدودیت G1 = G1* را به محدودیت های موجود مسئله اضافه کنید و “بهترین” راه حل را تعیین کنید.
5. مرحله 4 را تکرار کنید تا تمام سطوح اولویت در نظر گرفته شود.

مثال روش برنامه ریزی آرمانی » رتبه بندی دار (اولویت دار)

یک مشتری 80000 دلار برای سرمایه گذاری دارد و به عنوان یک استراتژی اولیه، مایل است سبد سرمایه گذاری به دو سهم محدود شود:

سهام	قیمت/سهم	بازگشت سرمایه در سال/سهم	شاخص ریسک/سهم
نفت آمریکا	25 دلار	3 دلار	0.50
دارایی های هاب	50 دلار	5 دلار	0.25

نفت آمریکا که بازدهی 3 دلاری در قیمت سهام 25 دلاری دارد، نرخ بازدهی سالانه 12 درصدی را ارائه می دهد در حالی که دارایی هاب نرخ بازدهی سالانه 10 درصدی را ارائه می دهد. شاخص ریسک هر سهم، 0.50 برای نفت آمریکا و 0.25 برای دارایی هاب، رتبه ای است که نیکولو برای اندازه گیری ریسک نسبی این دو سرمایه گذاری به آن اختصاص داده است.

مقادیر شاخص ریسک بالاتر به معنای ریسک بیشتر است. از این رو، نیکولو نفت آمریکا را سرمایه گذاری پرریسک تری ارزیابی کرد. نیکولو با تعیین حداکثر شاخص ریسک پرتفوی، از قرار دادن بیش از حد پرتفوی در سرمایه گذاری های با ریسک پرهیز می کند.

برای نشان دادن نحوه استفاده از شاخص ریسک هر سهم برای اندازه‌گیری ریسک کل پرتفوی، فرض کنید که نیکولو پرتفویی را انتخاب می‌کند که تمام 80000 دلار را در نفت ایالات متحده سرمایه‌گذاری می‌کند، سرمایه‌گذاری ریسک بالاتر اما بازدهی بالاتر. نیکولو می تواند 80000 دلار / 25 دلار = 3200 سهم نفت ایالات متحده را خریداری کند، و پرتفوی دارای شاخص ریسک 3200 (0.50) = 1600 خواهد بود.

برعکس، اگر نیکولو هیچ سهمی از هر یک از سهام خریداری نکند، پرتفوی هیچ ریسکی نخواهد داشت، اما هیچ ریسکی نیز نخواهد داشت و برگشت سرمایه ای نیز شامل حال نمی شود. بنابراین، شاخص ریسک پرتفوی از 0 (کمترین ریسک) تا 1600 (بیشترین ریسک) متغیر است.

مثال روش برنامه ریزی آرمانی رتبه بندی دار (اولویت دار)

مشتری نیکولو مایل است از پرتفوی پرخطر اجتناب کند. بنابراین، سرمایه گذاری همه وجوه در نفت ایالات متحده مطلوب نخواهد بود. با این حال، مشتری موافقت کرد که سطح ریسک قابل قبولی با پرتفوی هایی با حداکثر شاخص کل ریسک 700 یا کمتر مطابقت دارد.

یکی دیگر از اهداف مشتری کسب بازده سالانه حداقل 9000 دلار است. این هدف را می توان با پرتفویی متشکل از 2000 سهم نفت ایالات متحده [با هزینه 2000 (25 دلار) = 50،000 دلار] و 600 سهم دارایی هاب [با هزینه 600 (50 دلار) = 30،000 دلار] محقق کرد.

بازده سالانه در این مورد 2000 (3 دلار) + 600 (5 دلار) = 9000 دلار خواهد بود. البته توجه داشته باشید که شاخص ریسک پرتفوی برای این استراتژی سرمایه گذاری 2000(0.50) + 600(0.25) = 1150 خواهد بود. بنابراین، این پرتفوی به هدف بازده سالانه دست می یابد اما هدف شاخص ریسک پرتفوی را برآورده نمی کند.

فرض کنید که هدف اصلی مشتری محدود کردن ریسک است. یعنی نگه داشتن شاخص ریسک پرتفوی در 700 یا کمتر آنقدر مهم است که مشتری حاضر نیست دستیابی به این هدف را با هر مقدار افزایش بازده سالانه معامله کند. تا زمانی که شاخص ریسک پرتفوی از 700 تجاوز نکند، مشتری به دنبال بهترین بازده ممکن است.

بر اساس این بیانیه اولویت ها، اهداف برای مشکل به شرح زیر است:

• هدف 1(سطح اولویت 1): پرتفویی را پیدا کنید که دارای شاخص ریسک 700 یا کمتر باشد.
• هدف 2(سطح اولویت 2): پرتفویی را بیابید که بازدهی سالانه حداقل 9000 دلار را داشته باشد.

فرموله کردن مثال مساله برنامه ریزی آرمانی » رتبه بندی دار (اولویت دار)

پرتفوی هایی که محدودیت سرمایه موجود را برآورده می کند:

پرتفوی هایی که هدف اول را برآورده می کند:

پرتفوی هایی که هدف دوم را برآورده می کند:

بنابراین، راه حل توصیه می کند که: U = 800 سهم H = 1200 سهم را خریداری کنیم.

توجه داشته باشید که هدف سطح اول اولویت یک شاخص ریسک پرتفوی 700 یا کمتر محقق شده است. با این حال، اولویت سطح 2 هدف حداقل بازگشت سالانه 9000 دلار قابل دستیابی نیست. بازده سالانه پرتفوی پیشنهادی 8400 دلار است.

مثال روش برنامه ریزی آرمانی »روش حنان

قصد داریم مساله برنامه ریزی آرمانی زیر را با روش حنان حل کنیم. بازه های تحمل : [F1 = [4, 5], F2 = [1, 2

با ساخت مدل ریاضی جواب های زیر به عنوان جواب بهینه با فرض ثابت بودن وزن تعیین می شود:

حال فرض کنید این مساله دارای اوزانی به ترتیب w1=0.6 و w2=0.4  باشد. آنگاه داریم:

---

سوالات متداول مثال روش برنامه ریزی آرمانی

نتیجه‌گیری

برنامه ریزی آرمانی ابزاری قدرتمند برای تصمیم گیری چندهدفه است که می تواند به مدیران در یافتن بهترین راه حل برای مسائل پیچیده کمک کند. با وجود مزایای فراوان، این روش محدودیت هایی نیز دارد که باید در نظر گرفته شود.

• مطالعات بیشتری در زمینه کاربردهای برنامه ریزی آرمانی در زمینه های مختلف انجام شود.
• روش های جدیدی برای حل مدل های برنامه ریزی آرمانی توسعه یابد.
• نرم افزارهای کاربرپسندتری برای حل مدل های برنامه ریزی آرمانی طراحی شود.