میانگین، میانه و نما چیست؟

در آمار توصیفی، یکی از اولین کارهایی که برای شناخت داده‌ها انجام می‌شود بررسی شاخص‌های گرایش مرکزی است.

شاخص‌های گرایش مرکزی نشان می‌دهند داده‌ها معمولاً حول چه مقداری متمرکز هستند.

سه شاخص اصلی در این زمینه عبارت‌اند از:

• میانگین
• میانه
• نما

این سه شاخص در نگاه اول ساده به نظر می‌رسند، اما انتخاب بین آن‌ها اهمیت زیادی دارد.

برای مثال در داده‌هایی که دارای مقادیر پرت هستند، میانگین ممکن است تصویر مناسبی از مرکز داده‌ها ارائه نکند و میانه گزینه مناسب‌تری باشد.

از طرف دیگر، اگر هدف شناسایی پرتکرارترین مقدار باشد، نما کاربرد بیشتری دارد.

اما میانگین، میانه و نما چیست و چه تفاوتی با یکدیگر دارند؟

این سه شاخص از مهم‌ترین مفاهیم پایه در «آمار چیست؟» هستند و در تحلیل داده‌های پایان نامه، گزارش‌های مدیریتی و تحقیقات علمی کاربرد زیادی دارند.

میانگین چیست؟

میانگین یا Mean یکی از رایج‌ترین شاخص‌های گرایش مرکزی است.

برای محاسبه میانگین، تمام مقادیر با یکدیگر جمع شده و حاصل بر تعداد مشاهدات تقسیم می‌شود.

برای مثال داده‌های زیر را در نظر بگیرید:

10، 12، 14، 16، 18

جمع داده‌ها:

70

تعداد داده‌ها:

5

میانگین:

70 / 5 = 14

بنابراین میانگین این مجموعه برابر ۱۴ است.

فرمول میانگین

فرمول ساده میانگین به شکل زیر است:

Mean = مجموع مقادیر / تعداد مقادیر

در نمادگذاری آماری معمولاً میانگین نمونه با:

x̄

نمایش داده می‌شود.

میانگین جامعه نیز معمولاً با:

μ

نشان داده می‌شود.

این تفاوت به این دلیل است که در آمار بین پارامترهای جامعه و آماره‌های نمونه تفاوت وجود دارد.

کاربرد میانگین چیست؟

میانگین زمانی کاربرد زیادی دارد که داده‌ها کمی باشند و توزیع آن‌ها به شدت تحت تاثیر مقادیر پرت قرار نگرفته باشد.

برای مثال می‌توان میانگین موارد زیر را محاسبه کرد:

• نمرات دانشجویان
• درآمد
• فروش
• وزن
• سن
• رضایت مشتری
• عملکرد کارکنان

میانگین در بسیاری از تحلیل‌های آماری پیشرفته نیز نقش مهمی دارد.

برای مثال در «آزمون t» مقایسه میانگین‌ها بخش اصلی تحلیل است.

همچنین در «آزمون ANOVA» نیز میانگین چند گروه با یکدیگر مقایسه می‌شود.

مزایای میانگین

یکی از مهم‌ترین مزایای میانگین این است که از تمام داده‌های موجود استفاده می‌کند.

برای مثال اگر یک مجموعه شامل ۱۰۰ مشاهده باشد، هر ۱۰۰ مقدار در محاسبه میانگین نقش دارند.

این ویژگی باعث می‌شود میانگین در بسیاری از تحلیل‌های پارامتریک شاخص مهمی باشد.

همچنین میانگین از نظر محاسبات ریاضی ویژگی‌های مناسبی دارد و به همین دلیل پایه بسیاری از روش‌های آماری است.

محدودیت میانگین

مهم‌ترین محدودیت میانگین حساسیت آن به مقادیر پرت است.

برای مثال داده‌های زیر را در نظر بگیرید:

5، 6، 6، 7، 100

میانگین:

24.8

اما بیشتر داده‌ها بین ۵ تا ۷ قرار دارند.

عدد ۱۰۰ باعث شده میانگین به شدت افزایش پیدا کند.

در چنین شرایطی میانگین ممکن است تصویر مناسبی از مقدار مرکزی داده‌ها ارائه نکند.

میانه چیست؟

میانه یا Median مقدار وسط داده‌ها پس از مرتب کردن آن‌ها است.

برای محاسبه میانه ابتدا داده‌ها از کوچک به بزرگ مرتب می‌شوند.

برای مثال:

3، 5، 7، 9، 11

مقدار وسط:

7

بنابراین میانه برابر ۷ است.

میانه برخلاف میانگین، نسبت به مقادیر پرت حساسیت بسیار کمتری دارد.

به همین دلیل در داده‌های نامتقارن یا دارای مقادیر بسیار بزرگ و کوچک کاربرد زیادی دارد.

محاسبه میانه برای تعداد فرد داده‌ها

اگر تعداد داده‌ها فرد باشد، مقدار وسط میانه است.

مثال:

2، 4، 6، 8، 10

تعداد داده‌ها:

5

مقدار وسط:

6

پس میانه برابر ۶ است.

محاسبه میانه برای تعداد زوج داده‌ها

اگر تعداد داده‌ها زوج باشد، دو مقدار وسط انتخاب شده و میانگین آن‌ها محاسبه می‌شود.

برای مثال:

2، 4، 6، 8

دو مقدار وسط:

4 و 6

میانه:

(4 + 6) / 2 = 5

بنابراین میانه برابر ۵ است.

کاربرد میانه چیست؟

میانه برای داده‌هایی کاربرد زیادی دارد که توزیع آن‌ها نامتقارن باشد یا مقادیر پرت داشته باشند.

یکی از مثال‌های رایج، درآمد است.

فرض کنید درآمد ۵ نفر به صورت زیر باشد:

20 میلیون
22 میلیون
25 میلیون
28 میلیون
400 میلیون

میانگین این داده‌ها تحت تاثیر مقدار ۴۰۰ میلیون قرار می‌گیرد.

اما میانه برابر:

25 میلیون

است.

این مقدار تصویر واقع‌بینانه‌تری از فرد میانی مجموعه ارائه می‌دهد.

تفاوت میانگین و میانه

میانگین از تمام مقادیر استفاده می‌کند، اما میانه بیشتر به جایگاه داده‌ها توجه دارد.

به همین دلیل میانگین نسبت به داده‌های پرت حساس‌تر است.

ویژگی	میانگین	میانه
استفاده از تمام مقادیر	بله	خیر
حساسیت به داده پرت	زیاد	کم
مناسب برای داده متقارن	بله	بله
مناسب برای داده شدیداً چوله	کمتر	بیشتر

اگر توزیع داده‌ها تقریباً متقارن باشد، میانگین و میانه معمولاً به یکدیگر نزدیک هستند.

اما در داده‌های بسیار چوله ممکن است اختلاف زیادی بین آن‌ها وجود داشته باشد.

نما چیست؟

نما یا Mode مقداری است که بیشترین تکرار را در یک مجموعه داده دارد.

برای مثال:

2، 3، 3، 3، 5، 7

عدد ۳ بیشترین تکرار را دارد.

بنابراین نما:

3

است.

نما برخلاف میانگین و میانه می‌تواند برای داده‌های اسمی نیز استفاده شود.

برای مثال اگر متغیر نوع محصول شامل موارد زیر باشد:

• لپ‌تاپ
• موبایل
• موبایل
• تبلت
• موبایل

نما برابر:

موبایل

است.

زیرا موبایل بیشترین تکرار را دارد.

آیا یک مجموعه می‌تواند چند نما داشته باشد؟

بله.

اگر دو مقدار بیشترین فراوانی یکسان داشته باشند، داده‌ها می‌توانند دو نما داشته باشند.

برای مثال:

1، 1، 2، 2، 3

دو مقدار:

1 و 2

هر دو بیشترین تکرار را دارند.

در این حالت مجموعه دو نما دارد.

اگر چند مقدار با بیشترین فراوانی یکسان وجود داشته باشند، مجموعه می‌تواند چندنما باشد.

همچنین ممکن است مجموعه‌ای هیچ نمای مشخصی نداشته باشد.

کاربرد نما چیست؟

نما زمانی کاربرد دارد که پژوهشگر بخواهد پرتکرارترین پاسخ یا مقدار را شناسایی کند.

برای مثال:

• پرتکرارترین محصول خریداری‌شده
• پرتکرارترین رشته تحصیلی
• پرتکرارترین گروه سنی
• رایج‌ترین پاسخ پرسشنامه

نما به‌خصوص برای متغیرهای اسمی اهمیت دارد، زیرا محاسبه میانگین برای چنین متغیرهایی معنی ندارد.

برای مثال اگر متغیر جنسیت یا نوع محصول باشد، استفاده از نما منطقی‌تر از میانگین است.

مقایسه میانگین، میانه و نما

هر سه شاخص مرکز داده‌ها را از زاویه متفاوتی نشان می‌دهند.

شاخص	تعریف	کاربرد اصلی
میانگین	مجموع مقادیر تقسیم بر تعداد	داده‌های کمی
میانه	مقدار وسط داده‌های مرتب‌شده	داده‌های چوله یا دارای پرت
نما	پرتکرارترین مقدار	داده‌های اسمی یا پرتکرار

انتخاب شاخص مناسب به نوع متغیر و شکل توزیع داده‌ها بستگی دارد.

در تحلیل توصیفی بهتر است این سه شاخص بدون توجه به شرایط داده به صورت مکانیکی گزارش نشوند.

تاثیر داده‌های پرت بر میانگین و میانه

یکی از مهم‌ترین تفاوت‌های میانگین و میانه، میزان حساسیت آن‌ها به داده‌های پرت است.

داده پرت یا Outlier مقداری است که فاصله زیادی با سایر مقادیر مجموعه دارد.

برای مثال:

10، 11، 12، 13، 100

میانگین این داده‌ها برابر است با:

29.2

در حالی که میانه برابر است با:

12

در این مثال عدد ۱۰۰ باعث شده میانگین به شدت افزایش پیدا کند، اما میانه تقریباً تحت تاثیر قرار نگرفته است.

به همین دلیل در داده‌هایی که مقادیر پرت زیادی دارند، میانه معمولاً شاخص مناسب‌تری برای توصیف مرکز داده‌ها است.

رابطه میانگین، میانه و نما با چولگی توزیع

شکل توزیع داده‌ها می‌تواند رابطه بین میانگین، میانه و نما را تغییر دهد.

اگر توزیع تقریباً متقارن باشد، این سه شاخص معمولاً به یکدیگر نزدیک هستند.

اما اگر توزیع چوله باشد، فاصله بین آن‌ها بیشتر می‌شود.

در یک توزیع با چولگی مثبت یا راست‌چوله، معمولاً:

میانگین > میانه > نما

در یک توزیع با چولگی منفی یا چپ‌چوله، معمولاً:

میانگین < میانه < نما

این روابط تقریبی هستند و نباید به عنوان قانون قطعی برای همه مجموعه‌های داده در نظر گرفته شوند.

برای بررسی کامل‌تر شکل توزیع، بهتر است علاوه بر این شاخص‌ها، هیستوگرام و شاخص‌های چولگی نیز بررسی شوند.

مثال چولگی مثبت

فرض کنید درآمد ماهانه چند نفر به صورت زیر باشد:

20، 22، 24، 25، 26، 30، 200

وجود درآمد ۲۰۰ باعث ایجاد دنباله در سمت راست توزیع می‌شود.

در این حالت میانگین به سمت مقدار بزرگ کشیده می‌شود.

میانه کمتر تحت تاثیر قرار می‌گیرد.

به همین دلیل در گزارش درآمد افراد معمولاً میانه می‌تواند اطلاعات مناسب‌تری نسبت به میانگین ارائه دهد.

مثال چولگی منفی

فرض کنید نمرات یک آزمون به صورت زیر باشند:

20، 85، 88، 90، 92، 95، 98

در این مجموعه مقدار بسیار پایین ۲۰ می‌تواند توزیع را به سمت چپ بکشد.

در این شرایط میانگین کمتر از میانه می‌شود.

بنابراین مشاهده اختلاف قابل توجه میانگین و میانه می‌تواند یکی از نشانه‌های اولیه نامتقارن بودن توزیع باشد.

چه زمانی از میانگین استفاده کنیم؟

میانگین معمولاً زمانی مناسب است که:

• داده‌ها کمی باشند.
• توزیع به شدت چوله نباشد.
• داده‌های پرت شدید وجود نداشته باشند.
• هدف استفاده در تحلیل‌های پارامتریک باشد.

برای مثال در بررسی نمره دانشجویان یک کلاس که توزیع نسبتاً متعادل دارد، میانگین می‌تواند شاخص مناسبی باشد.

همچنین در تحلیل‌هایی مانند «آزمون t» و «ANOVA» میانگین نقش محوری دارد.

چه زمانی از میانه استفاده کنیم؟

میانه زمانی مناسب‌تر است که:

• داده‌ها چوله باشند.
• مقادیر پرت وجود داشته باشد.
• توزیع نامتقارن باشد.
• داده‌ها حداقل رتبه‌ای باشند.

برای مثال در تحلیل درآمد، قیمت ملک یا مدت بستری بیماران، میانه در بسیاری از موارد اطلاعات واقع‌بینانه‌تری ارائه می‌دهد.

در این متغیرها وجود چند مقدار بسیار بزرگ می‌تواند میانگین را به شدت تحت تاثیر قرار دهد.

چه زمانی از نما استفاده کنیم؟

نما بیشتر زمانی کاربرد دارد که هدف شناسایی پرتکرارترین مقدار باشد.

برای مثال:

• پرتکرارترین محصول
• رایج‌ترین رشته تحصیلی
• پرتکرارترین گروه شغلی
• محبوب‌ترین گزینه پاسخ

نما برای داده‌های اسمی نیز قابل استفاده است.

برای مثال محاسبه میانگین برای نوع خودرو یا استان محل سکونت معنی ندارد، اما نما می‌تواند رایج‌ترین گزینه را مشخص کند.

میانگین، میانه و نما در داده‌های پرسشنامه‌ای

در تحقیقات پرسشنامه‌ای انتخاب بین این سه شاخص به نوع متغیر بستگی دارد.

برای متغیرهای اسمی مانند:

• جنسیت
• وضعیت تأهل
• نوع شغل

معمولاً فراوانی، درصد و نما مناسب‌تر هستند.

برای متغیرهای ترتیبی مانند:

• کم
• متوسط
• زیاد

میانه و نما می‌توانند قابل استفاده باشند.

در بسیاری از پژوهش‌های دارای مقیاس لیکرت چندگویه‌ای، نمره ترکیبی سازه‌ها به صورت کمی تحلیل می‌شود و میانگین نیز گزارش می‌شود؛ اما نحوه تحلیل باید با ساختار مقیاس و هدف پژوهش سازگار باشد.

پیش از تحلیل نهایی پرسشنامه، بررسی «روایی و پایایی پرسشنامه» نیز اهمیت دارد.

محاسبه میانگین، میانه و نما در SPSS

برای محاسبه این شاخص‌ها در SPSS چند مسیر وجود دارد.

یکی از ساده‌ترین مسیرها:

Analyze

↓

Descriptive Statistics

↓

Frequencies

است.

پس از انتخاب متغیر مورد نظر، از بخش Statistics می‌توان گزینه‌های زیر را فعال کرد:

• Mean
• Median
• Mode

سپس SPSS هر سه شاخص را در خروجی نمایش می‌دهد.

استفاده از Descriptives در SPSS

مسیر دیگری که برای متغیرهای کمی کاربرد زیادی دارد:

Analyze

↓

Descriptive Statistics

↓

Descriptives

است.

در این بخش می‌توان شاخص‌هایی مانند:

• Mean
• Standard Deviation
• Minimum
• Maximum

را مشاهده کرد.

با این حال اگر نیاز به Median و Mode داشته باشید، گزینه Frequencies معمولاً کامل‌تر است.

مثال محاسبه در SPSS

فرض کنید نمرات رضایت مشتریان در یک تحقیق جمع‌آوری شده است.

خروجی SPSS:

Mean = 3.82

Median = 4.00

Mode = 4

این نتایج نشان می‌دهند مرکز داده‌ها در محدوده حدود ۴ قرار دارد.

نزدیک بودن میانگین و میانه نیز می‌تواند نشان دهد توزیع داده‌ها در مرکز خود عدم تقارن بسیار شدیدی ندارد، هرچند برای نتیجه‌گیری درباره نرمال بودن باید بررسی‌های بیشتری انجام شود.

برای این موضوع می‌توانید مقاله «آزمون نرمال بودن داده‌ها چیست؟» را مطالعه کنید.

آیا نزدیک بودن میانگین و میانه یعنی داده‌ها نرمال هستند؟

خیر.

نزدیک بودن Mean و Median می‌تواند نشانه‌ای از تقارن نسبی باشد، اما به تنهایی نرمال بودن داده‌ها را اثبات نمی‌کند.

ممکن است یک توزیع غیرنرمال نیز میانگین و میانه نزدیک به یکدیگر داشته باشد.

برای بررسی توزیع باید موارد دیگری مانند:

• هیستوگرام
• Q-Q Plot
• شاخص چولگی
• بررسی باقی‌مانده‌ها
• آزمون‌های نرمالیتی در صورت نیاز

را نیز در نظر گرفت.

میانگین وزنی چیست؟

در برخی تحلیل‌ها همه مقادیر اهمیت یکسانی ندارند.

در این شرایط از میانگین وزنی یا Weighted Mean استفاده می‌شود.

در میانگین وزنی هر مقدار بر اساس وزن خود در محاسبه مشارکت می‌کند.

برای مثال فرض کنید نمره نهایی یک درس از سه بخش تشکیل شده باشد:

آزمون میان‌ترم: ۳۰ درصد

پروژه: ۲۰ درصد

آزمون پایان‌ترم: ۵۰ درصد

در این شرایط نمی‌توان سه نمره را به صورت ساده با هم جمع کرد و بر سه تقسیم کرد.

باید وزن هر بخش در محاسبه لحاظ شود.

مثال میانگین وزنی

فرض کنید دانشجو نمرات زیر را دریافت کرده باشد:

میان‌ترم = 16

پروژه = 18

پایان‌ترم = 14

میانگین وزنی:

(16 × 0.30) + (18 × 0.20) + (14 × 0.50)

برابر است با:

15.4

بنابراین نمره نهایی دانشجو برابر ۱۵.۴ خواهد بود.

میانگین حسابی و میانگین هندسی چه تفاوتی دارند؟

میانگینی که معمولاً در آمار مقدماتی استفاده می‌شود، میانگین حسابی است.

اما انواع دیگری از میانگین نیز وجود دارند.

میانگین هندسی بیشتر برای نرخ‌های رشد، نسبت‌ها و تغییرات مرکب کاربرد دارد.

برای مثال اگر بازده سرمایه‌گذاری در چند دوره بررسی شود، میانگین هندسی در برخی شرایط مناسب‌تر از میانگین حسابی است.

بنابراین واژه Mean همیشه لزوماً به معنی یک نوع خاص از میانگین نیست، هرچند در تحلیل‌های عمومی معمولاً منظور Arithmetic Mean است.

ارتباط میانگین با واریانس و انحراف معیار

میانگین فقط مرکز داده‌ها را نشان می‌دهد و درباره میزان پراکندگی اطلاعات زیادی ارائه نمی‌کند.

برای مثال ممکن است دو گروه هر دو میانگین:

50

داشته باشند.

اما داده‌های گروه اول بین ۴۸ تا ۵۲ قرار گرفته باشند و گروه دوم بین ۲۰ تا ۸۰ پراکنده باشند.

پس فقط با دانستن میانگین نمی‌توان شکل داده‌ها را به خوبی شناخت.

به همین دلیل معمولاً میانگین همراه با انحراف معیار گزارش می‌شود.

در مقاله بعدی خوشه، مفهوم «واریانس و انحراف معیار» را به صورت کامل بررسی می‌کنیم.

نحوه گزارش میانگین و میانه در پایان نامه

در پایان نامه، شاخص‌های مرکزی معمولاً در بخش آمار توصیفی گزارش می‌شوند.

برای مثال:

متغیر	میانگین	میانه	انحراف معیار
رضایت مشتری	3.82	4.00	0.64
اعتماد مشتری	3.55	3.60	0.72
وفاداری	3.91	4.00	0.59

سپس پژوهشگر می‌تواند توضیح کوتاهی درباره وضعیت متغیرها ارائه دهد.

نباید صرفاً جداول SPSS بدون تفسیر در متن پایان نامه قرار داده شوند.

اشتباهات رایج در استفاده از میانگین، میانه و نما

یکی از اشتباهات رایج، استفاده از میانگین برای هر نوع متغیر است.

برای مثال میانگین گرفتن از کدهای عددی یک متغیر اسمی می‌تواند کاملاً بی‌معنی باشد.

اگر:

1 = تهران

2 = تبریز

3 = شیراز

باشد، میانگین این اعداد معنای آماری قابل تفسیری درباره شهر محل سکونت ندارد.

اشتباه دیگر نادیده گرفتن داده‌های پرت هنگام گزارش میانگین است.

همچنین نباید به دلیل محبوبیت میانگین، میانه و نما را در شرایطی که مناسب‌تر هستند نادیده گرفت.

نتیجه‌گیری

میانگین، میانه و نما سه شاخص اصلی گرایش مرکزی هستند که برای توصیف مرکز داده‌ها استفاده می‌شوند.

میانگین از تمام مقادیر استفاده می‌کند و در بسیاری از تحلیل‌های آماری اهمیت زیادی دارد، اما به داده‌های پرت حساس است.

میانه مقدار وسط داده‌های مرتب‌شده است و در توزیع‌های چوله یا دارای مقادیر پرت معمولاً گزینه مناسب‌تری است.

نما نیز پرتکرارترین مقدار را نشان می‌دهد و برای داده‌های اسمی نیز قابل استفاده است.

انتخاب بین این سه شاخص باید بر اساس:

• نوع متغیر
• شکل توزیع
• وجود داده پرت
• هدف تحلیل

انجام شود.

این شاخص‌ها بخش مهمی از تحلیل توصیفی هستند و قبل از اجرای آزمون‌هایی مانند «رگرسیون»، «آزمون t» یا «ANOVA» به شناخت بهتر داده‌ها کمک می‌کنند.

سوالات متداول درباره میانگین، میانه و نما

میانگین چیست؟

میانگین از تقسیم مجموع مقادیر بر تعداد آن‌ها محاسبه می‌شود و یکی از مهم‌ترین شاخص‌های گرایش مرکزی است.

میانه چیست؟

میانه مقدار وسط یک مجموعه داده پس از مرتب کردن مقادیر است.

نما چیست؟

نما مقداری است که بیشترین تکرار را در داده‌ها دارد.

تفاوت میانگین و میانه چیست؟

میانگین به همه مقادیر وابسته است و نسبت به داده‌های پرت حساسیت زیادی دارد، اما میانه بیشتر بر موقعیت مرکزی داده‌ها متکی است.

برای داده‌های پرت میانگین بهتر است یا میانه؟

در بسیاری از داده‌های دارای پرت شدید، میانه شاخص مناسب‌تری برای مرکز داده‌ها است.

آیا داده‌ها می‌توانند چند نما داشته باشند؟

بله. اگر چند مقدار بیشترین فراوانی یکسان داشته باشند، داده‌ها می‌توانند چندنما باشند.

Mean در SPSS چیست؟

Mean همان میانگین حسابی داده‌ها است.

آیا نزدیک بودن میانگین و میانه نرمال بودن داده را اثبات می‌کند؟

خیر. این موضوع فقط می‌تواند نشانه‌ای از تقارن نسبی باشد و برای بررسی نرمال بودن باید شاخص‌ها و نمودارهای دیگری نیز بررسی شوند.