واریانس و انحراف معیار چیست؟

در آمار فقط دانستن میانگین داده‌ها کافی نیست. دو مجموعه داده می‌توانند میانگین یکسانی داشته باشند، اما میزان پراکندگی آن‌ها کاملاً متفاوت باشد. برای مثال دو کلاس را در نظر بگیرید که میانگین نمره هر دو برابر ۱۵ است.

در کلاس اول بیشتر نمرات بین ۱۴ تا ۱۶ قرار دارند.

اما در کلاس دوم بعضی دانشجویان نمره ۵ و بعضی نمره ۲۰ گرفته‌اند.

اگر فقط میانگین را ببینیم، هر دو کلاس مشابه به نظر می‌رسند؛ در حالی که پراکندگی نمرات آن‌ها بسیار متفاوت است.

برای اندازه‌گیری این پراکندگی از شاخص‌هایی مانند واریانس و انحراف معیار استفاده می‌شود.

اما واریانس و انحراف معیار چیست؟

واریانس نشان می‌دهد داده‌ها تا چه اندازه حول میانگین پراکنده شده‌اند. انحراف معیار نیز ریشه دوم واریانس است و چون با واحد اصلی داده بیان می‌شود، معمولاً تفسیر ساده‌تری دارد.

این دو شاخص از مهم‌ترین مفاهیم «آمار چیست؟» و آمار توصیفی هستند.

واریانس چیست؟

واریانس یا Variance یک شاخص آماری برای اندازه‌گیری میزان پراکندگی داده‌ها حول میانگین است.

به زبان ساده، واریانس بررسی می‌کند که مقادیر یک مجموعه چقدر از میانگین فاصله دارند.

اگر بیشتر داده‌ها نزدیک میانگین باشند، واریانس کوچک خواهد بود.

اگر داده‌ها پراکندگی زیادی داشته باشند، واریانس بزرگ‌تر می‌شود.

برای مثال دو مجموعه زیر را در نظر بگیرید:

مجموعه اول:

9، 10، 10، 10، 11

مجموعه دوم:

2، 6، 10، 14، 18

میانگین هر دو مجموعه:

10

است.

اما پراکندگی مجموعه دوم بسیار بیشتر است.

بنابراین واریانس مجموعه دوم نیز بیشتر خواهد بود.

چرا فقط فاصله داده‌ها از میانگین را جمع نمی‌کنیم؟

ممکن است این سوال ایجاد شود که چرا فاصله هر مقدار از میانگین را محاسبه و جمع نمی‌کنیم.

مشکل این است که بعضی فاصله‌ها مثبت و بعضی منفی هستند.

برای مثال اگر میانگین:

10

باشد، مقدار:

8

دو واحد کمتر از میانگین است و اختلاف آن:

-2

خواهد بود.

مقدار:

12

دو واحد بیشتر از میانگین است و اختلاف آن:

+2

است.

اگر این دو را جمع کنیم نتیجه صفر می‌شود، در حالی که هر دو مقدار از میانگین فاصله دارند.

برای حل این مشکل، اختلاف‌ها به توان دو می‌رسند.

به همین دلیل در محاسبه واریانس از مجذور فاصله‌ها استفاده می‌شود.

فرمول واریانس چیست؟

برای یک جامعه آماری، واریانس معمولاً با σ² نمایش داده می‌شود.

فرمول ساده آن:

σ² = مجموع مجذور فاصله هر مقدار از میانگین / تعداد داده‌ها

اما در نمونه آماری معمولاً از:

s²

استفاده می‌شود و مخرج فرمول:

n – 1

است.

این تفاوت به اصلاح برآورد واریانس جامعه بر اساس نمونه مربوط می‌شود.

بنابراین باید بین:

واریانس جامعه

و

واریانس نمونه

تفاوت قائل شد.

مثال محاسبه واریانس

داده‌های زیر را در نظر بگیرید:

2، 4، 6

میانگین:

4

فاصله‌ها از میانگین:

2 – 4 = -2

4 – 4 = 0

6 – 4 = 2

مجذور فاصله‌ها:

4، 0، 4

مجموع:

8

اگر این سه مقدار کل جامعه مورد بررسی باشند:

Variance = 8 / 3

که تقریباً برابر است با:

2.67

این مقدار میزان پراکندگی داده‌ها را نشان می‌دهد.

انحراف معیار چیست؟

انحراف معیار یا Standard Deviation یکی از مهم‌ترین شاخص‌های پراکندگی در آمار است.

انحراف معیار از ریشه دوم واریانس به دست می‌آید.

فرمول ساده:

SD = √Variance

مزیت اصلی انحراف معیار این است که واحد آن با واحد داده‌های اصلی یکسان است.

برای مثال اگر داده‌ها بر حسب کیلوگرم باشند، انحراف معیار نیز بر حسب کیلوگرم بیان می‌شود.

اما واحد واریانس، کیلوگرم به توان دو خواهد بود که تفسیر آن دشوارتر است.

به همین دلیل در گزارش‌های آماری معمولاً انحراف معیار بیشتر از واریانس گزارش می‌شود.

مثال ساده انحراف معیار

اگر واریانس یک مجموعه برابر باشد با:

25

انحراف معیار برابر خواهد بود با:

√25 = 5

یعنی پراکندگی داده‌ها در مقیاسی برابر با ۵ واحد بیان می‌شود.

البته انحراف معیار به این معنا نیست که همه داده‌ها دقیقاً ۵ واحد با میانگین فاصله دارند.

این شاخص یک معیار کلی برای میزان پراکندگی مجموعه است.

تفاوت واریانس و انحراف معیار چیست؟

واریانس و انحراف معیار هر دو میزان پراکندگی را اندازه‌گیری می‌کنند، اما روش بیان آن‌ها متفاوت است.

ویژگی	واریانس	انحراف معیار
نام انگلیسی	Variance	Standard Deviation
نماد نمونه	s²	s
واحد	مجذور واحد اصلی	همان واحد اصلی
تفسیر	دشوارتر	ساده‌تر
کاربرد	محاسبات آماری	گزارش و تفسیر داده‌ها

در بسیاری از تحلیل‌های نظری، واریانس نقش بسیار مهمی دارد.

اما برای گزارش توصیفی داده‌ها، انحراف معیار معمولاً قابل فهم‌تر است.

انحراف معیار بزرگ چه معنایی دارد؟

اگر انحراف معیار بزرگ باشد، یعنی داده‌ها پراکندگی بیشتری حول میانگین دارند.

برای مثال:

میانگین = 50

انحراف معیار = 2

نشان می‌دهد بیشتر داده‌ها نسبتاً نزدیک به میانگین قرار دارند.

اما اگر:

میانگین = 50

انحراف معیار = 18

باشد، داده‌ها پراکندگی بیشتری دارند.

بنابراین نمی‌توان فقط میانگین را بدون بررسی پراکندگی تفسیر کرد.

انحراف معیار کوچک چه معنایی دارد؟

انحراف معیار کوچک نشان می‌دهد مقادیر نسبتاً به میانگین نزدیک هستند.

برای مثال اگر نمره رضایت مشتریان دارای:

Mean = 4.10

SD = 0.30

باشد، پاسخ‌ها نسبتاً نزدیک به میانگین متمرکز هستند.

اما اگر:

Mean = 4.10

SD = 1.40

باشد، با وجود همان میانگین، اختلاف زیادی بین پاسخ مشتریان وجود دارد.

این مثال نشان می‌دهد چرا میانگین و انحراف معیار باید معمولاً کنار هم گزارش شوند.

برای آشنایی بیشتر با شاخص‌های مرکزی می‌توانید مقاله «میانگین، میانه و نما چیست؟» را مطالعه کنید.

آیا انحراف معیار می‌تواند منفی باشد؟

خیر.

انحراف معیار همیشه صفر یا مثبت است.

زیرا در فرایند محاسبه ابتدا فاصله‌ها به توان دو می‌رسند و سپس ریشه دوم گرفته می‌شود.

اگر همه مقادیر دقیقاً برابر باشند، انحراف معیار صفر خواهد بود.

برای مثال:

5، 5، 5، 5

در این مجموعه همه داده‌ها برابر هستند.

بنابراین:

Mean = 5

Variance = 0

Standard Deviation = 0

یعنی هیچ پراکندگی در داده‌ها وجود ندارد.

انحراف معیار و داده‌های پرت

انحراف معیار نسبت به داده‌های پرت حساس است.

برای مثال داده‌های زیر را در نظر بگیرید:

10، 11، 12، 13، 14

اگر مقدار:

100

به این مجموعه اضافه شود، هم میانگین و هم انحراف معیار به شدت تغییر می‌کنند.

این موضوع به این دلیل است که در محاسبه واریانس، فاصله‌ها به توان دو می‌رسند.

بنابراین یک فاصله بسیار بزرگ می‌تواند اثر زیادی روی نتیجه داشته باشد.

در داده‌های دارای مقادیر پرت شدید، بهتر است علاوه بر میانگین و انحراف معیار، شاخص‌هایی مانند میانه و فاصله بین چارکی نیز بررسی شوند.

رابطه انحراف معیار با توزیع نرمال

در یک توزیع نرمال، انحراف معیار نقش مهمی در توصیف پراکندگی داده‌ها دارد.

به طور تقریبی:

حدود ۶۸ درصد داده‌ها در محدوده یک انحراف معیار از میانگین قرار می‌گیرند.

حدود ۹۵ درصد داده‌ها در محدوده دو انحراف معیار قرار دارند.

و حدود ۹۹.۷ درصد داده‌ها در محدوده سه انحراف معیار از میانگین قرار می‌گیرند.

این قاعده را گاهی قانون:

68–95–99.7

می‌نامند.

البته این تفسیر فقط برای توزیع‌هایی که تقریباً نرمال هستند مناسب است.

برای آشنایی با این موضوع می‌توانید مقاله «آزمون نرمال بودن داده‌ها چیست؟» را مطالعه کنید.

ضریب تغییرات چیست؟

ضریب تغییرات یا Coefficient of Variation یکی دیگر از شاخص‌های پراکندگی است که برای مقایسه میزان پراکندگی بین مجموعه‌هایی با مقیاس یا میانگین متفاوت استفاده می‌شود.

فرمول آن به شکل زیر است:

CV = (Standard Deviation / Mean) × 100

برای مثال فرض کنید دو گروه داریم:

گروه اول:

Mean = 100
SD = 10

گروه دوم:

Mean = 20
SD = 5

اگر فقط انحراف معیار را ببینیم، گروه اول پراکندگی بیشتری دارد.

اما ضریب تغییرات نشان می‌دهد پراکندگی نسبت به میانگین چقدر است.

گروه اول:

CV = 10%

گروه دوم:

CV = 25%

در نتیجه گروه دوم از نظر نسبی پراکندگی بیشتری دارد.

چه زمانی از ضریب تغییرات استفاده می‌کنیم؟

ضریب تغییرات زمانی مفید است که بخواهیم پراکندگی دو متغیر با واحد یا مقیاس متفاوت را مقایسه کنیم.

برای مثال:

• مقایسه نوسان فروش دو محصول
• مقایسه پراکندگی درآمد دو گروه
• مقایسه تغییرات دو شاخص مالی
• بررسی ثبات چند مجموعه داده

اما استفاده از CV برای متغیرهایی که میانگین آن‌ها نزدیک صفر است یا دارای مقیاس فاصله‌ای بدون صفر واقعی هستند می‌تواند گمراه‌کننده باشد.

نقش واریانس در ANOVA

نام ANOVA از عبارت Analysis of Variance گرفته شده است.

این آزمون برای مقایسه میانگین چند گروه استفاده می‌شود، اما منطق اصلی آن بر مقایسه انواع واریانس استوار است.

ANOVA بررسی می‌کند چه مقدار از تغییرات داده‌ها مربوط به تفاوت بین گروه‌ها و چه مقدار مربوط به پراکندگی داخل گروه‌ها است.

به زبان ساده:

اگر تفاوت بین گروه‌ها نسبت به پراکندگی داخل گروه‌ها زیاد باشد، احتمال معنادار شدن نتیجه بیشتر می‌شود.

برای مطالعه کامل این تحلیل می‌توانید مقاله «آزمون ANOVA چیست؟» را ببینید.

واریانس بین گروهی و درون گروهی

در ANOVA دو مفهوم مهم وجود دارد:

واریانس بین گروهی

نشان می‌دهد میانگین گروه‌ها تا چه اندازه با یکدیگر تفاوت دارند.

واریانس درون گروهی

نشان می‌دهد افراد داخل هر گروه تا چه اندازه با میانگین همان گروه تفاوت دارند.

آماره F بر اساس نسبت این دو نوع تغییرات محاسبه می‌شود.

اگر تغییرات بین گروه‌ها نسبت به تغییرات درون گروه‌ها بزرگ باشد، مقدار F افزایش پیدا می‌کند.

انحراف معیار در رگرسیون و تحلیل‌های آماری

انحراف معیار فقط برای توصیف داده‌ها استفاده نمی‌شود و در بسیاری از تحلیل‌های پیشرفته نیز نقش دارد.

برای مثال ضرایب استانداردشده در رگرسیون بر اساس مقیاس استانداردشده متغیرها محاسبه می‌شوند.

همچنین در محاسبه شاخص‌هایی مانند Cohen’s d، انحراف معیار نقش مستقیم دارد.

برای مثال:

Cohen’s d = تفاوت میانگین‌ها / انحراف معیار

بنابراین انحراف معیار در محاسبه «اندازه اثر» نیز اهمیت دارد.

تفاوت انحراف معیار و خطای استاندارد چیست؟

یکی از اشتباهات رایج در پایان نامه‌ها، یکسان دانستن Standard Deviation و Standard Error است.

این دو مفهوم متفاوت هستند.

Standard Deviation یا SD

پراکندگی داده‌های افراد حول میانگین را نشان می‌دهد.

Standard Error یا SE

عدم قطعیت برآورد میانگین نمونه نسبت به میانگین جامعه را نشان می‌دهد.

فرمول ساده خطای استاندارد میانگین:

SE = SD / √n

که در آن:

n = حجم نمونه

است.

مثال تفاوت SD و SE

فرض کنید:

SD = 12

و حجم نمونه:

n = 100

باشد.

در این صورت:

SE = 12 / √100

SE = 1.2

انحراف معیار برابر ۱۲ است، اما خطای استاندارد فقط ۱.۲ است.

این دو عدد اطلاعات متفاوتی ارائه می‌دهند.

SD درباره پراکندگی افراد صحبت می‌کند، اما SE درباره دقت برآورد میانگین نمونه اطلاعات می‌دهد.

تاثیر حجم نمونه بر Standard Error

با افزایش حجم نمونه، خطای استاندارد معمولاً کاهش پیدا می‌کند.

زیرا در فرمول:

SE = SD / √n

هرچه n بیشتر شود، مخرج بزرگ‌تر خواهد شد.

برای مثال اگر SD ثابت باشد:

n = 25

SE بزرگ‌تر است.

اما اگر:

n = 400

باشد، SE کاهش پیدا می‌کند.

این موضوع یکی از دلایلی است که افزایش حجم نمونه می‌تواند دقت برآوردها را افزایش دهد.

برای توضیحات بیشتر می‌توانید مقاله «حجم نمونه در پژوهش چگونه تعیین می‌شود؟» را مطالعه کنید.

انحراف معیار و فاصله اطمینان

خطای استاندارد در محاسبه فاصله اطمینان نقش دارد.

به صورت ساده، فاصله اطمینان برای میانگین از ساختاری شبیه زیر استفاده می‌کند:

میانگین ± مقدار بحرانی × خطای استاندارد

برای نمونه‌های بزرگ و شرایط معمول، در فاصله اطمینان ۹۵ درصد از عددی نزدیک به ۱.۹۶ استفاده می‌شود.

هرچه خطای استاندارد کوچک‌تر باشد، فاصله اطمینان باریک‌تر و برآورد دقیق‌تر خواهد بود.

آیا انحراف معیار بزرگ همیشه بد است؟

خیر.

بزرگ یا کوچک بودن انحراف معیار به موضوع پژوهش بستگی دارد.

برای مثال در یک فرایند تولید که هدف یکنواختی محصولات است، انحراف معیار بزرگ ممکن است نامطلوب باشد.

اما در یک تحقیق درباره تنوع رفتار مشتریان، پراکندگی زیاد می‌تواند یک ویژگی واقعی و مهم جامعه باشد.

بنابراین انحراف معیار صرفاً میزان پراکندگی را نشان می‌دهد و خوب یا بد بودن آن باید در زمینه تحقیق تفسیر شود.

مقایسه انحراف معیار بین دو گروه

فرض کنید دو شعبه یک شرکت رضایت مشتریان را اندازه‌گیری کرده‌اند.

شعبه اول:

Mean = 4.0
SD = 0.30

شعبه دوم:

Mean = 4.0
SD = 1.10

میانگین هر دو شعبه برابر است.

اما در شعبه اول پاسخ مشتریان بسیار شبیه یکدیگر است.

در شعبه دوم اختلاف نظر بیشتری بین مشتریان وجود دارد.

بنابراین فقط با مشاهده میانگین نمی‌توان تفاوت واقعی دو گروه را درک کرد.

انحراف معیار در داده‌های پرسشنامه‌ای

در تحقیقات پرسشنامه‌ای، معمولاً برای متغیرهای اصلی علاوه بر میانگین، انحراف معیار نیز گزارش می‌شود.

برای مثال:

متغیر	میانگین	انحراف معیار
رضایت مشتری	3.84	0.62
اعتماد	3.51	0.75
وفاداری	3.92	0.58

میانگین وضعیت کلی متغیر را نشان می‌دهد و انحراف معیار میزان پراکندگی پاسخ‌ها را مشخص می‌کند.

اگر داده‌ها از پرسشنامه جمع‌آوری شده باشند، پیش از تحلیل نهایی بررسی «روایی و پایایی پرسشنامه» نیز اهمیت دارد.

محاسبه واریانس و انحراف معیار در SPSS

برای محاسبه این شاخص‌ها در SPSS می‌توانید از مسیر زیر استفاده کنید:

Analyze

↓

Descriptive Statistics

↓

Descriptives

سپس متغیرهای مورد نظر را انتخاب کنید.

در بخش Options می‌توان شاخص‌هایی مانند:

• Mean
• Std. Deviation
• Variance
• Minimum
• Maximum

را فعال کرد.

پس از اجرای تحلیل، SPSS مقادیر مربوط را نمایش می‌دهد.

محاسبه انحراف معیار با Frequencies

مسیر دیگری نیز وجود دارد:

Analyze

↓

Descriptive Statistics

↓

Frequencies

در قسمت Statistics می‌توان گزینه‌های:

• Mean
• Median
• Mode
• Std. Deviation
• Variance

را انتخاب کرد.

این مسیر زمانی مفید است که بخواهید همزمان شاخص‌های مرکزی و پراکندگی را مشاهده کنید.

مثال خروجی SPSS

فرض کنید برای متغیر رضایت مشتری خروجی زیر به دست آمده باشد:

Mean = 3.80

Std. Deviation = 0.65

Variance = 0.423

این خروجی نشان می‌دهد میانگین رضایت ۳.۸ است و پاسخ‌ها با انحراف معیار ۰.۶۵ حول میانگین پراکنده شده‌اند.

همچنین:

0.65² ≈ 0.423

بنابراین رابطه بین واریانس و انحراف معیار نیز در خروجی قابل مشاهده است.

نحوه گزارش انحراف معیار در پایان نامه

در پایان نامه معمولاً انحراف معیار همراه با میانگین گزارش می‌شود.

برای مثال:

«میانگین رضایت مشتریان برابر با 3.80 و انحراف معیار آن 0.65 بود.»

یا به شکل خلاصه‌تر:

M = 3.80, SD = 0.65

در جدول‌های آمار توصیفی نیز معمولاً ستون‌های میانگین و انحراف معیار در کنار هم قرار می‌گیرند.

این شیوه باعث می‌شود خواننده هم مرکز داده و هم میزان پراکندگی را مشاهده کند.

چه زمانی به جای SD از IQR استفاده کنیم؟

در داده‌هایی که به شدت چوله هستند یا دارای مقادیر پرت زیاد هستند، میانگین و SD همیشه بهترین شاخص‌ها نیستند.

در چنین شرایطی ممکن است بهتر باشد:

میانه

همراه با:

Interquartile Range یا IQR

گزارش شود.

IQR فاصله بین چارک اول و سوم را نشان می‌دهد و نسبت به مقادیر پرت مقاومت بیشتری دارد.

بنابراین انتخاب شاخص پراکندگی نیز مانند انتخاب میانگین یا میانه باید با توجه به شکل داده‌ها انجام شود.

اشتباهات رایج در تفسیر واریانس و انحراف معیار

یکی از اشتباهات رایج این است که تصور شود انحراف معیار همان متوسط فاصله ساده داده‌ها از میانگین است.

در واقع SD بر اساس ریشه میانگین مجذور فاصله‌ها محاسبه می‌شود.

اشتباه دیگر مقایسه مستقیم SD دو متغیر با واحدهای کاملاً متفاوت است.

در چنین شرایطی ممکن است ضریب تغییرات مناسب‌تر باشد.

همچنین Standard Error نباید به جای Standard Deviation برای نشان دادن پراکندگی افراد گزارش شود.

نتیجه‌گیری

واریانس و انحراف معیار دو شاخص مهم برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها هستند.

واریانس بر اساس مجذور فاصله مقادیر از میانگین محاسبه می‌شود و انحراف معیار ریشه دوم واریانس است.

مزیت انحراف معیار این است که با همان واحد متغیر اصلی بیان می‌شود و به همین دلیل تفسیر ساده‌تری دارد.

به طور کلی:

• میانگین مرکز داده‌ها را نشان می‌دهد.
• واریانس میزان پراکندگی را اندازه می‌گیرد.
• انحراف معیار پراکندگی را در واحد اصلی داده بیان می‌کند.
• Standard Error دقت برآورد میانگین را نشان می‌دهد.

برای تحلیل کامل داده‌ها بهتر است شاخص‌های مرکزی و پراکندگی در کنار یکدیگر بررسی شوند.

به همین دلیل مطالعه این مقاله در کنار «میانگین، میانه و نما چیست؟» تصویر دقیق‌تری از آمار توصیفی ارائه می‌دهد.

سوالات متداول درباره واریانس و انحراف معیار

انحراف معیار چیست؟

انحراف معیار شاخصی برای اندازه‌گیری پراکندگی داده‌ها حول میانگین است و از ریشه دوم واریانس به دست می‌آید.

واریانس چیست؟

واریانس میانگین مجذور فاصله داده‌ها از میانگین را اندازه‌گیری می‌کند.

تفاوت واریانس و انحراف معیار چیست؟

واریانس با واحد به توان دو بیان می‌شود، اما انحراف معیار دارای همان واحد داده اصلی است.

آیا انحراف معیار می‌تواند منفی باشد؟

خیر. انحراف معیار همیشه صفر یا مثبت است.

انحراف معیار صفر یعنی چه؟

یعنی تمام داده‌های مجموعه دقیقاً برابر هستند و هیچ پراکندگی وجود ندارد.

تفاوت SD و SE چیست؟

SD پراکندگی مشاهدات را نشان می‌دهد، اما SE عدم قطعیت و دقت برآورد میانگین را نشان می‌دهد.

انحراف معیار بالا یعنی چه؟

یعنی داده‌ها نسبت به میانگین پراکندگی بیشتری دارند.

واریانس و انحراف معیار در SPSS چگونه محاسبه می‌شوند؟

از مسیر Analyze > Descriptive Statistics > Descriptives یا Frequencies می‌توان این شاخص‌ها را محاسبه کرد.