محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP

در فرآیند تحلیل سلسله‌مراتبی، نرخ ناسازگاری در AHP (Consistency Ratio) شاخصی حیاتی است که به ما می‌گوید قضاوت‌های خبره تا چه حد با منطق ریاضی سازگار هستند. طبق منطق انتقال‌پذیری، اگر معیار A بر B ترجیح داشته باشد و B بر C، انتظار می‌رود که A با شدت بیشتری بر C ترجیح داده شود. زمانی که قضاوت‌های انسانی این منطق را نقض کنند، نرخ ناسازگاری در AHP بالا می‌رود. در واقع، این شاخص به عنوان فیلتر اعتبار در بخش وزن‌دهی معیارها عمل می‌کند و بدون آن، نتایج تحقیق فاقد وجاهت علمی خواهد بود.

طبق استانداردهای جهانی و تعریف توماس ساعتی، مقدار مجاز برای نرخ ناسازگاری در AHP باید کمتر از 0.1 باشد. اگر این عدد فراتر از ده درصد برود، به این معناست که مقایسات زوجی انجام شده دارای تضادهای درونی هستند و نمی‌توان به وزن‌های استخراج شده اعتماد کرد. این موضوع به ویژه زمانی اهمیت پیدا می‌کند که قصد دارید نتایج را به مدل‌های رتبه‌بندی حساسی مانند روش TOPSIS منتقل کنید. یک نرخ ناسازگاری بالا می‌تواند کل خروجی‌های سیستم تصمیم‌گیری چندمعیاره (MCDM) را با خطا مواجه کند.

دلیل اصلی بروز بالا بودن نرخ ناسازگاری در AHP معمولاً ناشی از تعداد زیاد معیارها یا خستگی ذهن خبره در هنگام پاسخگویی به پرسشنامه‌ها است. زمانی که تعداد المان‌ها در یک سطح زیاد باشد، حفظ تمرکز بر روی مقایسات زوجی دشوار می‌شود. در چنین شرایطی، محققان اغلب به سراغ روش‌های جایگزین مانند روش BWM می‌روند که ذاتا نرخ ناسازگاری کمتری تولید می‌کند، و یا با استفاده از روش AHP چند سطحی، ماتریس‌های بزرگ را به زیرمجموعه‌های کوچک‌تر و سازگارتر تقسیم می‌کنند.

---

مفهوم نرخ ناسازگاری در AHP و اهمیت آن در تحلیل‌های علمی

نرخ ناسازگاری (Inconsistency Ratio) شاخصی است که نشان می‌دهد چه میزان مقایسه‌های زوجی انجام شده با هم سازگاری دارند. مقایسه‌های زوجی توسط خبرگان صورت می‌گیرد و در صورتی می‌توان به نتایج مقایسه‌ها اعتماد کرد که این مقایسه‌ها سازگار باشند.

اساس تحلیل در روش‌های فرایند تحلیل سلسله‌مراتبی (AHP) و فرایند تحلیل شبکه (ANP) بر مقایسه‌های زوجی توسط خبرگان استوار است. بنابراین هرگونه خطا و ناسازگاری در مقایسه عناصر، نتیجه نهایی به دست آمده از محاسبات را تحت تاثیر قرار می‌دهد.

نرخ سازگاری مقایسه‌ها با یک مثال قابل تشریح است. برای نمونه اگر عنصر A نسبت به B ارزش ترجیحی ۳ داشته باشد و عنصر B نسبت به C ارزش ترجیحی ۲ داشته باشد، آنگاه باید انتظار داشت عنصر A نسبت به C ارزش ترجیحی ۶ داشته باشد. یک نمونه مقایسه سازگار و یک نمونه مقایسه ناسازگار در زیر آمده است:

• مقایسه سازگار: الف از ب بهتر است؛ ب از ج بهتر است؛ الف از ج خیلی بهتر است.
• مقایسه ناسازگار: الف از ب بهتر است؛ ب از ج بهتر است؛ ج از الف بهتر است.

شاید بررسی سازگاری مقایسه سه عنصر ساده باشد، اما وقتیکه تعداد مقایسه‌ها افزایش یابد اطمینان از سازگاری مقایسه‌ها به سادگی میسر نبوده و از نرخ سازگاری استفاده می‌شود. تجربه نشان داده است که اگر نرخ سازگاری کمتر از ۰/۱ باشد سازگاری مقایسه‌ها قابل قبول است. در غیر اینصورت مقایسه‌ها باید تجدید نظر شود.

محاسبه نرخ سازگاری در AHP

اگر n معیار به شرح C1, C2,…, Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : [A=[a_ij به طوری که i,j=1,2,…,n ،که در آن a_ij ترجیح عنصر c_i را بر c_j نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :  a_ik x ak_{j =} a_ij  آنگاه می گوییم ماتریس سازگار است. به عبارتی دیگر 3 شرط زیر باید برقرار باشد:

• وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
• ویژه برابر طول ماتریس است (AW = nW) .
• ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

مثال محاسبه نرخ سازگاری در AHP

برای ماتریس سازگار زیر نرخ سازگاری را محاسبه می کنیم.

3 شرط فوق در این مثال صدق می کند. لذا ماتریس سازگار است و نرخ ناسازگاری صفر درنظر گرفته می شود.

نرخ ناسازگاری در AHP چیست؟

1. محاسبه بردار مجموع وزنی: ماتریس مقایسه‌ زوجی را در بردار ویژه ضرب کنید. بردار جدیدی را که به این طریق بدست می‌آید، بردار مجموع وزنی نامیده می‌شود.
2. محاسبه بردار سازگاری: هر عنصر بردار مجموع وزنی را بر عنصر متناظر در بردار ویژه تقسیم کرده، بردار حاصل بردار سازگاری نامیده می‌شود.
3. برآورد lmax: میانگین عناصر بردار سازگاری lmax را به دست می‌دهد. بیشتر مواقع به جای محاسبه lmax از روش تقریبی میانگین هندسی استفاده می‌شود. پارامتر L مقدار تقریبی lmax است.
4. محاسبه شاخص سازگاری (CI) : اگر تعداد عناصر جدول مقایسه زوجی n باشد، شاخص سازگاری بصورت زیر تعریف می‌شود:
5. محاسبه شاخص تصادفی: شاخص تصادفی بودن از جدول زیر  استخراج می‌شود.

6. محاسبه نرخ سازگاری: نرخ سازگاری از تقسیم شاخص سازگاری بر شاخص تصادفی بدست می‌آید. اگر نرخ سازگاری ۱/۰ یا کمتر باشد مقایسه‌ها سازگار است.

CR = CI / RI

شروط نرخ ناسازگاری

قضیه یک) اگر λ1,λ2,..λn مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است:

λi=n∑

قضیه دو) بزرگترین مقدار ویژه λ max همواره بزرگتر یا مساوی n  است (در این صورت برخی از λ ها منفی خواهند بود)

λ_max>=n

قضیه سه) اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت که در آن A x W = λ x W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد.

λmax یک مقدار ویژه برابر n ( بزرگترین مقدار ویژه) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت:

AW=nW

در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3، کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت:

A x W = λmax x W -> λmax -n 

شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1

---

گام های محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
2. بردار وزن W را مشخص نمایید .
3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی λmax مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
   1. با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی از λmax*W به دست آورید
   2. با تقسیم مقادیر به دست آمده برای λmax.W برW مربوطه تخمین هایی از λmax را محاسبه نمایید .
   3. متوسط λmax به دست آمده را پیدا کنید .
4. مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه روبرو محاسبه می کنیم: شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1
5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : I.R = I.I / I.I.R

---

مثال نرخ ناسازگاری در AHP

برای ماتریس زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه نمایید.

قدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :

نرخ ناسازگاری یکی از گام های روش AHP می باشد. برای اطلاعات بیشتر آموزش روش AHP را مطالعه کنید.

---

ترفندهای کاهش و اصلاح نرخ ناسازگاری در AHP

اگر پس از انجام محاسبات متوجه شدید که نرخ ناسازگاری در AHP بیش از حد مجاز است، نیازی به ناامیدی نیست. اولین راهکار، شناسایی مقایساتی است که بیشترین سهم را در ایجاد ناسازگاری دارند. با بررسی ماتریس «بردار اولویت»، می‌توانید تشخیص دهید کدام جفت از معیارها با منطق کلی ماتریس تضاد دارند. اصلاح این جفت‌ها به تنهایی می‌تواند نرخ ناسازگاری در AHP را به زیر ۰.۱ بازگرداند. این رویکرد تحلیلی بخشی از مباحث پیشرفته در تحقیق در عملیات است که به بهینه‌سازی قضاوت‌های انسانی کمک می‌کند.

راهکار دوم برای بهبود نرخ ناسازگاری در AHP، آموزش دقیق خبرگان قبل از تکمیل پرسشنامه است. بسیاری از خطاها ناشی از عدم درک صحیح مقیاس ۱ تا ۹ ساعتی است. با توضیح این موضوع که تفاوت اهمیت‌ها باید دارای توالی منطقی باشد، می‌توانید کیفیت داده‌های ورودی را تضمین کنید. همچنین در مسائل مدیریتی پیچیده که در بخش آموزش مدیریت بررسی می‌کنیم، پیشنهاد می‌شود از میانگین هندسی برای ترکیب نظرات در AHP گروهی استفاده شود تا اثر نظرات پرت (Outliers) که باعث افزایش نرخ ناسازگاری در AHP می‌شوند، تعدیل گردد.

در نهایت، اگر با تمام تلاش‌ها باز هم نرخ ناسازگاری در AHP کاهش نیافت، ممکن است ساختار درخت تصمیم شما دچار ایراد باشد. گاهی اوقات معیارهایی که در یک سطح قرار گرفته‌اند، از نظر ماهیت با هم تفاوت زیادی دارند و مقایسه آن‌ها اساساً غیرمنطقی است. در چنین شرایطی، بازنگری در مدل و استفاده از زیرمعیارها می‌تواند راهگشا باشد. به یاد داشته باشید که هدف از محاسبه نرخ ناسازگاری در AHP، مچ‌گیری از خبره نیست، بلکه اطمینان از این است که تصمیمات نهایی بر پایه یک ساختار ذهنی منسجم و قابل دفاع بنا شده‌اند.

سوالات متداول

---

نتیجه‌گیری

تسلط بر مدیریت و کنترل نرخ ناسازگاری در AHP، تفاوت اصلی بین یک محقق آماتور و یک متخصص تصمیم‌گیری است. این شاخص نه تنها اعتبار کار شما را تضمین می‌کند، بلکه دید عمیقی از کیفیت قضاوت‌های انجام شده در پروژه به شما می‌دهد. ما در سایت فرابگیر همواره در کنار شما هستیم تا با ارائه آموزش‌های دقیق و ابزارهای کاربردی، چالش‌های محاسباتی شما را در مسیر پژوهش به حداقل برسانیم.