آزمون ANCOVA چیست؟

در بسیاری از پژوهش‌ها، پژوهشگر می‌خواهد میانگین چند گروه را با یکدیگر مقایسه کند، اما همزمان یک یا چند متغیر دیگر نیز ممکن است بر نتیجه تاثیر داشته باشند.

برای مثال فرض کنید هدف بررسی تاثیر سه روش آموزشی بر نمره نهایی دانشجویان است. در نگاه اول می‌توان از تحلیل واریانس استفاده کرد، اما یک مسئله مهم وجود دارد: دانشجویان ممکن است قبل از شروع آموزش، سطح علمی متفاوتی داشته باشند.

اگر این تفاوت اولیه کنترل نشود، مشخص نیست اختلاف نمره نهایی واقعاً ناشی از روش آموزشی است یا به تفاوت اولیه دانشجویان مربوط می‌شود.

در چنین شرایطی تحلیل کوواریانس یا ANCOVA می‌تواند استفاده شود.

اما آزمون ANCOVA چیست؟

ANCOVA مخفف Analysis of Covariance است و روشی آماری برای مقایسه میانگین گروه‌ها پس از کنترل اثر یک یا چند متغیر کمکی یا Covariate محسوب می‌شود.

این روش را می‌توان ترکیبی از منطق «آزمون ANOVA» و «تحلیل رگرسیون» در نظر گرفت.

آزمون ANCOVA چیست؟

تحلیل کوواریانس یا ANCOVA روشی آماری است که برای مقایسه میانگین یک متغیر وابسته بین دو یا چند گروه استفاده می‌شود، در حالی که اثر یک یا چند متغیر کمی دیگر از تحلیل کنترل می‌شود.

متغیری که اثر آن کنترل می‌شود Covariate یا متغیر کمکی نام دارد.

برای مثال:

متغیر مستقل:

نوع روش آموزشی

متغیر وابسته:

نمره پایان دوره

متغیر کمکی:

نمره پیش‌آزمون

در این مثال، ANCOVA بررسی می‌کند که پس از کنترل تفاوت اولیه دانشجویان در پیش‌آزمون، آیا همچنان بین روش‌های آموزشی تفاوت معناداری وجود دارد یا خیر.

این ویژگی باعث می‌شود تحلیل نسبت به مقایسه ساده میانگین‌ها دقیق‌تر شود.

متغیر Covariate چیست؟

Covariate متغیری است که با متغیر وابسته ارتباط دارد، اما هدف اصلی پژوهش بررسی تاثیر آن نیست.

پژوهشگر اثر این متغیر را کنترل می‌کند تا بتواند اثر متغیر مستقل را دقیق‌تر بررسی کند.

برای مثال در یک تحقیق پزشکی ممکن است هدف مقایسه سه روش درمانی باشد.

متغیر وابسته:

فشار خون بعد از درمان

Covariate:

فشار خون اولیه بیمار

در این حالت فشار خون اولیه می‌تواند بر فشار خون نهایی تاثیر بگذارد.

اگر این متغیر کنترل نشود، نتیجه مقایسه روش‌های درمانی ممکن است تحت تاثیر تفاوت اولیه بیماران قرار گیرد.

کاربرد آزمون ANCOVA چیست؟

ANCOVA زمانی کاربرد دارد که پژوهشگر بخواهد میانگین چند گروه را مقایسه کند و در عین حال اثر یک متغیر مزاحم یا کمکی را کنترل کند.

برخی کاربردهای رایج عبارت‌اند از:

• تحقیقات پیش‌آزمون و پس‌آزمون
• تحقیقات آموزشی
• مطالعات پزشکی
• تحقیقات روانشناسی
• مقایسه روش‌های درمانی
• تحقیقات مدیریتی و رفتاری

یکی از رایج‌ترین کاربردهای ANCOVA در تحقیقات دارای پیش‌آزمون و پس‌آزمون است.

در این نوع پژوهش، نمره پیش‌آزمون به عنوان Covariate وارد مدل می‌شود و میانگین پس‌آزمون گروه‌ها پس از کنترل آن مقایسه می‌شود.

تفاوت ANCOVA و ANOVA چیست؟

تفاوت اصلی این دو روش در وجود متغیر کمکی است.

در ANOVA پژوهشگر میانگین گروه‌ها را مستقیماً با یکدیگر مقایسه می‌کند.

اما در ANCOVA ابتدا اثر متغیر کمکی کنترل شده و سپس میانگین تعدیل‌شده گروه‌ها مقایسه می‌شود.

ویژگی	ANOVA	ANCOVA
مقایسه گروه‌ها	بله	بله
متغیر وابسته	کمی	کمی
متغیر مستقل	طبقه‌ای	طبقه‌ای
Covariate	ندارد	دارد
کنترل متغیر مزاحم	محدود	بله

برای مثال اگر فقط بخواهیم نمرات سه گروه را مقایسه کنیم، «آزمون ANOVA چیست؟» انتخاب مناسبی است.

اما اگر بخواهیم نمرات سه گروه را پس از کنترل نمره اولیه مقایسه کنیم، ANCOVA مناسب‌تر خواهد بود.

تفاوت ANCOVA و رگرسیون چیست؟

ANCOVA از نظر ریاضی ارتباط نزدیکی با رگرسیون دارد.

در رگرسیون، پژوهشگر بررسی می‌کند یک یا چند متغیر چگونه متغیر وابسته را پیش‌بینی می‌کنند.

در ANCOVA نیز متغیر کمکی با استفاده از منطق رگرسیون کنترل می‌شود، اما هدف اصلی معمولاً مقایسه میانگین گروه‌ها است.

برای مثال:

در رگرسیون:

هدف می‌تواند پیش‌بینی عملکرد بر اساس سن، تجربه و آموزش باشد.

در ANCOVA:

هدف می‌تواند مقایسه عملکرد سه گروه پس از کنترل تجربه قبلی باشد.

برای آشنایی بیشتر با مدل‌های پیش‌بینی، مقاله «رگرسیون چندگانه چیست؟» نیز مفید است.

مثال ساده برای درک ANCOVA

فرض کنید سه گروه از دانشجویان با سه روش آموزشی مختلف درس آمار را یاد گرفته‌اند.

پس از پایان دوره میانگین نمرات به شکل زیر است:

• گروه اول: 17
• گروه دوم: 15
• گروه سوم: 14

در نگاه اول گروه اول بهتر به نظر می‌رسد.

اما فرض کنید میانگین نمره پیش‌آزمون گروه اول نیز از ابتدا بالاتر بوده است.

در این حالت نمی‌توان مطمئن بود که اختلاف نمره نهایی فقط ناشی از روش آموزشی است.

ANCOVA اثر نمره پیش‌آزمون را کنترل کرده و سپس میانگین‌های تعدیل‌شده سه گروه را مقایسه می‌کند.

ممکن است بعد از تعدیل مشخص شود اختلاف واقعی گروه‌ها بسیار کمتر از چیزی است که در میانگین خام مشاهده می‌شد.

پیش‌فرض‌های آزمون ANCOVA چیست؟

ANCOVA مانند سایر آزمون‌های پارامتریک دارای پیش‌فرض‌هایی است که باید قبل از تفسیر نتیجه بررسی شوند.

مهم‌ترین آن‌ها عبارت‌اند از:

• استقلال مشاهدات
• پیوسته بودن متغیر وابسته
• ارتباط خطی Covariate با متغیر وابسته
• همگنی شیب‌های رگرسیون
• همگنی واریانس‌ها
• مناسب بودن باقی‌مانده‌ها
• نبود داده‌های پرت تاثیرگذار

هر کدام از این موارد می‌توانند بر اعتبار نتیجه تاثیر داشته باشند.

استقلال مشاهدات در ANCOVA

مشاهدات باید تا حد لازم مستقل باشند.

برای مثال اگر هر فرد فقط در یکی از گروه‌های مستقل قرار دارد، این شرط معمولاً برقرار است.

اما اگر داده‌ها تکرارشونده یا وابسته باشند، ممکن است ANCOVA ساده انتخاب مناسبی نباشد و مدل دیگری مورد نیاز باشد.

رابطه خطی Covariate با متغیر وابسته

یکی از پیش‌فرض‌های مهم ANCOVA این است که بین Covariate و متغیر وابسته رابطه خطی مناسبی وجود داشته باشد.

برای مثال اگر نمره پیش‌آزمون به عنوان Covariate در نظر گرفته شده است، باید با نمره پس‌آزمون رابطه معقولی داشته باشد.

اگر متغیر کمکی هیچ ارتباطی با متغیر وابسته نداشته باشد، استفاده از آن معمولاً ارزش زیادی به مدل اضافه نمی‌کند.

همگنی شیب‌های رگرسیون چیست؟

یکی از مهم‌ترین پیش‌فرض‌های ANCOVA، Homogeneity of Regression Slopes است.

این پیش‌فرض بیان می‌کند رابطه بین Covariate و متغیر وابسته باید در گروه‌های مختلف تقریباً مشابه باشد.

برای مثال اگر رابطه نمره پیش‌آزمون با پس‌آزمون در یک گروه مثبت و در گروه دیگر کاملاً متفاوت باشد، استفاده از ANCOVA استاندارد ممکن است مناسب نباشد.

برای بررسی این موضوع معمولاً تعامل بین گروه و Covariate بررسی می‌شود.

اگر اثر Interaction معنادار باشد، ممکن است فرض همگنی شیب‌ها نقض شده باشد.

همگنی واریانس‌ها در ANCOVA

یکی دیگر از موارد مهم، بررسی Homogeneity of Variances است.

برای این موضوع معمولاً از آزمون Levene استفاده می‌شود.

اگر مقدار Sig آزمون Levene بزرگ‌تر از ۰.۰۵ باشد، معمولاً شواهد کافی برای رد برابری واریانس‌ها وجود ندارد.

البته تصمیم‌گیری درباره اعتبار مدل بهتر است تنها به این آزمون محدود نشود و ساختار داده‌ها نیز بررسی شود.

نرمال بودن در ANCOVA

در ANCOVA تمرکز اصلی بر رفتار باقی‌مانده‌های مدل است، نه اینکه الزاماً تمام متغیرهای خام کاملاً نرمال باشند.

می‌توان برای بررسی باقی‌مانده‌ها از:

• Histogram
• Q-Q Plot
• P-P Plot

استفاده کرد.

در صورتی که داده‌ها مشکلات جدی داشته باشند، بهتر است قبل از اجرای مدل، دلیل آن مشخص شود. برای آشنایی بیشتر با مفهوم نرمالیتی می‌توانید مقاله «آزمون نرمال بودن داده‌ها چیست؟» را مطالعه کنید.

آموزش اجرای آزمون ANCOVA در SPSS

برای اجرای تحلیل کوواریانس در SPSS می‌توان از مسیر زیر استفاده کرد:

Analyze

↓

General Linear Model

↓

Univariate

پس از باز شدن پنجره Univariate باید متغیرها در بخش مناسب قرار گیرند.

برای مثال فرض کنید می‌خواهیم تاثیر سه روش آموزشی را بر نمره پس‌آزمون بررسی کنیم و نمره پیش‌آزمون را کنترل کنیم.

در این حالت:

Dependent Variable:

نمره پس‌آزمون

Fixed Factor:

نوع روش آموزشی

Covariate:

نمره پیش‌آزمون

پس از قرار دادن متغیرها، می‌توان تنظیمات مربوط به آزمون‌ها و خروجی‌ها را مشخص کرد.

تنظیمات مهم ANCOVA در SPSS

در پنجره Univariate چند بخش مهم وجود دارد.

Options

در این قسمت بهتر است مواردی مانند زیر انتخاب شوند:

• Descriptive Statistics
• Estimates of Effect Size
• Homogeneity Tests
• Parameter Estimates

این گزینه‌ها اطلاعات لازم برای تفسیر بهتر مدل را فراهم می‌کنند.

Estimated Marginal Means

در این بخش می‌توان میانگین‌های تعدیل‌شده گروه‌ها را درخواست کرد.

این میانگین‌ها پس از کنترل اثر Covariate محاسبه می‌شوند و برای تفسیر نتیجه ANCOVA بسیار مهم هستند.

اگر چند گروه وجود داشته باشد، می‌توان مقایسه زوجی گروه‌ها را نیز درخواست کرد.

بررسی همگنی شیب‌های رگرسیون در SPSS

قبل از تفسیر ANCOVA باید فرض همگنی شیب‌های رگرسیون بررسی شود.

برای این کار معمولاً Interaction بین عامل گروه و Covariate وارد مدل می‌شود.

برای مثال:

روش آموزشی × نمره پیش‌آزمون

اگر این تعامل معنادار نباشد، معمولاً می‌توان گفت شواهدی از نقض شدید فرض همگنی شیب‌ها وجود ندارد.

اگر تعامل معنادار باشد، یعنی رابطه بین Covariate و متغیر وابسته در گروه‌ها یکسان نیست و استفاده از ANCOVA ساده ممکن است مناسب نباشد.

در چنین شرایطی بهتر است مدل دقیق‌تر و ساختار تعامل بررسی شود.

تفسیر آزمون Levene در ANCOVA

آزمون Levene برای بررسی همگنی واریانس خطاها بین گروه‌ها استفاده می‌شود.

در خروجی SPSS جدولی با عنوان:

Levene’s Test of Equality of Error Variances

نمایش داده می‌شود.

اگر:

Sig > 0.05

باشد، معمولاً شواهد کافی برای رد همگنی واریانس‌ها وجود ندارد.

اگر:

Sig < 0.05

باشد، ممکن است فرض همگنی واریانس‌ها نقض شده باشد.

برای مثال:

Sig = 0.31

در این حالت نتیجه آزمون Levene معنادار نیست و از نظر این آزمون مشکل آشکاری در برابری واریانس‌ها دیده نمی‌شود.

اما اگر:

Sig = 0.01

باشد، باید با احتیاط بیشتری نتیجه ANCOVA را تفسیر کرد.

جدول Tests of Between-Subjects Effects چیست؟

یکی از مهم‌ترین خروجی‌های ANCOVA در SPSS جدول:

Tests of Between-Subjects Effects

است.

این جدول مشخص می‌کند متغیر مستقل و Covariate چه تاثیری بر متغیر وابسته دارند.

در این جدول معمولاً ردیف‌هایی مانند موارد زیر دیده می‌شوند:

• Corrected Model
• Intercept
• Covariate
• Factor
• Error

برای مثال اگر متغیر مستقل روش آموزشی و Covariate نمره پیش‌آزمون باشد، باید ردیف مربوط به هر دو متغیر بررسی شود.

تفسیر اثر Covariate

ابتدا می‌توان بررسی کرد که آیا متغیر کمکی با متغیر وابسته ارتباط معناداری دارد یا خیر.

برای مثال:

نمره پیش‌آزمون:

F = 18.40

p < 0.001

این نتیجه نشان می‌دهد نمره پیش‌آزمون ارتباط معناداری با نمره پس‌آزمون دارد.

در نتیجه کنترل این متغیر در مدل منطقی بوده است.

اگر Covariate هیچ ارتباطی با متغیر وابسته نداشته باشد، نقش آن در بهبود مدل محدود خواهد بود.

تفسیر اثر متغیر مستقل در ANCOVA

مهم‌ترین بخش برای پاسخ به فرضیه پژوهش، ردیف مربوط به متغیر مستقل است.

برای مثال فرض کنید نتایج به صورت زیر باشد:

روش آموزشی:

F = 7.82

p = 0.001

چون مقدار p کمتر از ۰.۰۵ است، می‌توان نتیجه گرفت پس از کنترل نمره پیش‌آزمون، بین میانگین نمره پس‌آزمون گروه‌ها تفاوت معناداری وجود دارد.

این نتیجه تفاوت مهم ANCOVA با مقایسه خام میانگین‌ها را نشان می‌دهد.

در واقع پژوهشگر می‌تواند بگوید تفاوت بین گروه‌ها پس از کنترل اثر متغیر کمکی همچنان باقی مانده است.

Partial Eta Squared در ANCOVA

یکی از مزایای خروجی SPSS در ANCOVA این است که می‌تواند Partial Eta Squared را نیز گزارش کند.

این شاخص یکی از معیارهای اندازه اثر است.

برای مثال:

Partial Eta Squared = 0.11

نشان می‌دهد اثر عامل مورد بررسی از نظر اندازه نیز قابل توجه است.

اما تفسیر این مقدار باید با توجه به زمینه پژوهش انجام شود.

راهنمای تقریبی رایج:

Partial Eta Squared	تفسیر تقریبی
0.01	کوچک
0.06	متوسط
0.14	بزرگ

برای درک دقیق‌تر این مفهوم می‌توانید مقاله «اندازه اثر چیست؟ Effect Size در آمار و پایان نامه» را مطالعه کنید.

میانگین تعدیل‌شده چیست؟

یکی از مهم‌ترین مفاهیم در ANCOVA، Adjusted Mean یا میانگین تعدیل‌شده است.

میانگین خام فقط میانگین واقعی مشاهده‌شده در هر گروه را نشان می‌دهد.

اما میانگین تعدیل‌شده، میانگین گروه را پس از کنترل اثر Covariate نشان می‌دهد.

برای مثال فرض کنید میانگین خام سه گروه به صورت زیر باشد:

گروه	میانگین خام
روش اول	17.2
روش دوم	15.8
روش سوم	14.9

اما بعد از کنترل نمره پیش‌آزمون، میانگین‌های تعدیل‌شده به شکل زیر شوند:

گروه	میانگین تعدیل‌شده
روش اول	16.5
روش دوم	15.9
روش سوم	15.4

در این حالت می‌بینیم بخشی از تفاوت اولیه گروه‌ها به تفاوت پیش‌آزمون مربوط بوده است.

Pairwise Comparisons در ANCOVA

اگر اثر کلی گروه معنادار باشد، باید مشخص شود دقیقاً کدام گروه‌ها با یکدیگر تفاوت دارند.

برای این کار از Pairwise Comparisons استفاده می‌شود.

برای مثال ممکن است نتایج نشان دهد:

• گروه اول با گروه دوم تفاوت معنادار دارد.
• گروه اول با گروه سوم تفاوت معنادار دارد.
• گروه دوم و سوم تفاوت معناداری ندارند.

برای کنترل افزایش خطای نوع اول در مقایسه‌های متعدد، معمولاً از اصلاح‌هایی مانند Bonferroni استفاده می‌شود.

این موضوع ارتباط مستقیمی با بحث «خطای نوع اول و دوم چیست؟» دارد.

مثال کامل ANCOVA در پایان نامه

فرض کنید پژوهشگری تاثیر سه روش آموزشی را بر نمره نهایی دانشجویان بررسی کرده است.

سه گروه داریم:

• روش آموزشی A
• روش آموزشی B
• روش آموزشی C

متغیر وابسته:

نمره پس‌آزمون

متغیر کمکی:

نمره پیش‌آزمون

ابتدا همگنی شیب‌های رگرسیون بررسی می‌شود.

فرض کنیم Interaction بین گروه و پیش‌آزمون:

p = 0.42

باشد.

چون این مقدار معنادار نیست، شواهدی از نقض این پیش‌فرض مشاهده نمی‌شود.

سپس آزمون Levene:

p = 0.27

به دست آمده است.

این مقدار نیز معنادار نیست.

در جدول Tests of Between-Subjects Effects:

اثر پیش‌آزمون:

F = 20.31

p < 0.001

اثر روش آموزشی:

F = 8.14

p = 0.001

Partial Eta Squared = 0.12

بر اساس این نتایج، پس از کنترل نمره پیش‌آزمون، تفاوت معناداری بین سه روش آموزشی وجود دارد.

همچنین اندازه اثر روش آموزشی در محدوده متوسط تا نسبتاً بزرگ قرار دارد.

نحوه گزارش ANCOVA در پایان نامه

در گزارش تحلیل کوواریانس بهتر است موارد زیر ذکر شوند:

• دلیل انتخاب ANCOVA
• متغیر وابسته
• متغیر مستقل
• Covariate
• بررسی پیش‌فرض‌ها
• مقدار F
• درجه آزادی
• p-value
• Partial Eta Squared
• میانگین‌های تعدیل‌شده
• نتایج مقایسه‌های زوجی

یک نمونه گزارش:

«برای مقایسه نمره پس‌آزمون سه گروه با کنترل اثر نمره پیش‌آزمون از تحلیل کوواریانس استفاده شد. اثر تعامل گروه و پیش‌آزمون معنادار نبود و فرض همگنی شیب‌های رگرسیون برقرار بود. پس از کنترل پیش‌آزمون، اثر گروه بر نمره پس‌آزمون معنادار بود (F=8.14, p=0.001, partial η²=0.12). بنابراین بین روش‌های آموزشی از نظر نمره تعدیل‌شده پس‌آزمون تفاوت معناداری وجود داشت.»

تفاوت ANCOVA و تحلیل واریانس با اندازه‌گیری تکراری

این دو روش گاهی با یکدیگر اشتباه گرفته می‌شوند.

ANCOVA معمولاً برای مقایسه گروه‌ها همراه با کنترل یک متغیر کمکی استفاده می‌شود.

Repeated Measures ANOVA برای مقایسه چند اندازه‌گیری وابسته روی همان افراد کاربرد دارد.

برای مثال:

سه گروه مختلف + کنترل پیش‌آزمون:

ANCOVA

اندازه‌گیری یک گروه در سه زمان:

Repeated Measures ANOVA

بنابراین انتخاب آزمون باید بر اساس ساختار داده و طراحی پژوهش انجام شود.

مزایای ANCOVA

یکی از مهم‌ترین مزایای ANCOVA کنترل تاثیر متغیرهایی است که می‌توانند نتیجه اصلی را مخدوش کنند.

همچنین کنترل Covariate مرتبط با متغیر وابسته می‌تواند در برخی شرایط واریانس خطا را کاهش داده و دقت مقایسه گروه‌ها را افزایش دهد.

این روش به‌ویژه در طرح‌های پیش‌آزمون و پس‌آزمون کاربرد زیادی دارد.

با این حال، کنترل آماری یک متغیر جایگزین طراحی پژوهش مناسب، تصادفی‌سازی یا کنترل تجربی واقعی نیست.

اشتباهات رایج در استفاده از ANCOVA

یکی از خطاهای رایج این است که پژوهشگر بدون بررسی همگنی شیب‌های رگرسیون مستقیماً نتیجه ANCOVA را تفسیر کند.

اشتباه دیگر استفاده از هر متغیر دلخواه به عنوان Covariate است.

متغیر کمکی باید از نظر نظری و آماری با مدل سازگار باشد.

همچنین اگر Covariate تحت تاثیر خود مداخله قرار گرفته باشد، کنترل آن ممکن است تفسیر علی نتایج را پیچیده کند.

در تحقیقات پیش‌آزمون و پس‌آزمون نیز باید مشخص باشد که هدف تحلیل چیست و ANCOVA بر چه مبنای نظری انتخاب شده است.

نتیجه‌گیری

آزمون ANCOVA چیست؟ ANCOVA یا تحلیل کوواریانس روشی برای مقایسه میانگین گروه‌ها پس از کنترل اثر یک یا چند متغیر کمکی است.

این روش ترکیبی از منطق ANOVA و رگرسیون را به کار می‌گیرد و در تحقیقات آموزشی، پزشکی، روانشناسی و علوم اجتماعی کاربرد زیادی دارد.

مهم‌ترین نکات در اجرای ANCOVA عبارت‌اند از:

• انتخاب Covariate مناسب
• بررسی همگنی شیب‌های رگرسیون
• بررسی واریانس‌ها و باقی‌مانده‌ها
• تفسیر Tests of Between-Subjects Effects
• بررسی میانگین‌های تعدیل‌شده
• گزارش اندازه اثر

اگر فقط قصد مقایسه چند گروه بدون کنترل متغیر کمکی را دارید، «آزمون ANOVA» معمولاً انتخاب ساده‌تری است.

اما اگر یک متغیر کمی مهم می‌تواند بر نتیجه تاثیر بگذارد و شرایط مدل برقرار باشد، ANCOVA امکان مقایسه دقیق‌تری را فراهم می‌کند.

سوالات متداول درباره ANCOVA

آزمون ANCOVA چیست؟

ANCOVA یک روش آماری برای مقایسه میانگین گروه‌ها پس از کنترل اثر یک یا چند متغیر کمکی است.

Covariate چیست؟

Covariate متغیری است که با متغیر وابسته ارتباط دارد و اثر آن در مدل کنترل می‌شود.

تفاوت ANOVA و ANCOVA چیست؟

ANOVA میانگین گروه‌ها را مستقیماً مقایسه می‌کند، اما ANCOVA اثر یک یا چند Covariate را نیز کنترل می‌کند.

آیا ANCOVA برای پیش‌آزمون و پس‌آزمون مناسب است؟

در بسیاری از طرح‌های دارای گروه‌های مستقل، می‌توان نمره پیش‌آزمون را به عنوان Covariate و پس‌آزمون را به عنوان متغیر وابسته در نظر گرفت، مشروط بر اینکه پیش‌فرض‌ها و منطق طراحی پژوهش برقرار باشند.

مهم‌ترین پیش‌فرض ANCOVA چیست؟

همگنی شیب‌های رگرسیون یکی از پیش‌فرض‌های مهم این تحلیل است.

اندازه اثر در ANCOVA چگونه گزارش می‌شود؟

در SPSS معمولاً Partial Eta Squared برای هر اثر قابل گزارش است.

آیا ANCOVA در SPSS قابل اجرا است؟

بله. از مسیر Analyze > General Linear Model > Univariate می‌توان ANCOVA را اجرا کرد.