آموزش جامع روش DEA

در سال 1957 فارل با استفاده از روشی مانند اندازه گیری کارایی در مباحث مهندسی اقدام به اندازه گیری کارایی برای یک واحد تولیدی نمود. روش وی دارای یک ورودی و یک خروجی بود و او در ارائه روشی که در برگیرنده ورودی ها و خروجی های متعدد باشد موفق نبود. چارنز،کوپر و رودز دیدگاه فارل را توسعه داده و مدلی را ارائه کردند که توانایی اندازه گیری کارایی با چند ورودی و چند خروجی را داشت.

در سال 1976 مدل تحلیل پوششی داده ها اولین بار در رساله دکتری ” ادوارد رودز” به راهنمایی” کوپر” با عنوان “ارزیابی پیشرفت تحصیلی دانش آموزان مدارس ملی آمریکا” مورد استفاده قرار گرفت و در سال 1978 در مقاله ای تحت عنوان “اندازه گیری واحدهای تصمیم گیرنده ”ارائه شد.

روش DEA (تحلیل پوششی داده ها) چیست؟

روش DEA (تحلیل پوششی داده ها) یک روش برنامه ریزی خطی برای تعیین کارایی نسبی عملکرد واحدهای تصمیم گیرنده (DMU) یک سیستم است. از شرایط واحدهای مورد ارزیابی(واحد تصمیم گیری) این است که با صرف تعدادی ورودی، تعداد معینی خروجی را تولید می کنند.

نکته قابل توجه این است که در یک مساله تصمیم گیری می توان با شبیه سازی گزینه ها و معیارهای مورد ارزیابی به عنوان واحدها و ورودی ها و خروجی های آن ها از تکنیک در راستای رتبه بندی گزینه ها با در نظر گرفتن معیارهای مورد نظر استفاده کرد.

به عبارت دیگر در مسائل مربوط به تحلیل پوششی داده ها، مفهوم کارایی لزوماً به معنی کارایی یک واحد فیزیکی نخواهد بود، بلکه می توان با تعریف کارایی برای یک واحد مجازی به هدف مورد نظر دست یافت. براساس این روش مدیر می تواند با استفاده از بهترین واحد تصمیم گیری برای سایر واحدها الگوگیری نماید.

---

کاربردهای روش DEA (تحلیل پوششی داده ها)

از زمان انتشار این روش تاکنون تحلیل پوششی داده ها در زمینه های بسیار متنوعی برای ارزیابی کارآیی نسبی واحدهای تصمیم گیری همچون سنجش و مقایسه کارآیی شعب بانک ها، بیمه ها، مدارس و دانشگاه ها، بیمارستان ها، فروشگاه های زنجیره ای، سهام های موجود در یک صنعت در بازار سرمایه، صندوق های سرمایه گذاری مشترک، پایگاه های نظامی، مکان یابی شهرها و پایتخت ها تجاری و سیاسی، ارزیابی خودروسازان مختلف، مسائل جایابی و چیدمان، آژانس های خدمات مسافرتی و هوایی و ده ها زمینه دیگر به کار رفته است و به مرور زمان بر کاربرهای آن از علوم مختلف اقتصادی – مهندسی گرفته تا پزشکی و زیست شناختی افزوده می گردد.

روش تحلیل پوششی داده ها (DEA) اگرچه ابتدا به عنوان یکی از روش های ارزیابی کارآیی مطرح گردید ولی با توجه به کاربردهای فراوان بویژه در امر تصمیم گیری امروزه به عنوان ابزاری قدرتمند در زمینه تصمیم گیری و سنجش کارآیی واحد های تصمیم گیری مطرح می باشد.

---

دو مشخصه اصلی روش DEA (تحلیل پوششی داده ها)

استفاده از الگوی DEA، برای ارزیابی نسبی واحدها، نیازمند تعیین دو مشخصه اساسی دیدگاه الگو و بازده به مقیاس الگو می باشد که در ادامه به تشریح هریک پرداخته می شود.

1) دیدگاه الگو در روش DEA

• دیدگاه ورودی: در صورتی که در فرآیند ارزیابی با ثابت نگه داشتن سطح خروجی ها سعی در حداقل سازی ورودی ها داشته باشیم ماهیت الگو مورد استفاده ورودی است.
• دیدگاه خروجی: در صورتی که در فرآیند ارزیابی با ثابت نگه داشتن سطح ورودی ها سعی در حداقل سازی خروجی داشته باشیم ماهیت الگو مورد استفاده خروجی است.

در الگوی DEA، با دیدگاه ورودی به دنبال به دست آوردن ناکارایی فنی به عنوان نسبتی می باشیم که بایستی در ورودی ها کاهش داده شود تا خروجی بدون تغییر بماند و واحد در مرز کارایی قرار گیرد.

در دیدگاه خروجی به دنبال نسبتی هستیم که باید خروجی ها افزایش یابند بدون اینکه تغییری در ورودی ها به وجود آید تا واحد مورد نظر به مرز کارایی برسد.

علت انتخاب دیدگاه برای یک الگو DEA در ارزیابی نسبی عملکرد واحدهایی است که در بعضی موارد مدیریت واحد هیچ کنترلی بر میزان خروجی ندارد و مقدار آن از قبل مشخص و ثابت می باشد.

برعکس در بعضی از موارد میزان ورودی ثابت و مشخص است و میزان تولید ( خروجی) متغیر است و در چنین شرایطی، دیدگاه خروجی مناسب می باشد. در نهایت انتخاب دیدگاه ورودی و خروجی بر اساس میزان کنترل مدیر بر هر یک از ورودی ها و خروجی ها تعیین می گردد.

---

2) بازده به مقیاس در روش DEA

بازده به مقیاس بیانگر پیوند بین تغییرات ورودی ها و خروجی ها یک سیستم می باشد. یکی از توانایی های روش DEA کاربرد الگوهای مختلف متناظر با بازده به مقیاس های متفاوت و همچنین اندازه گیری بازده به مقیاس واحدهاست.

این الگو دارای دو نوع می باشد:

• بازده به مقیاس ثابت (CCR): یعنی هر مضربی از ورودی ها همان مضرب از خروجی ها را تولید می کند. الگوی CCR بازده به مقیاس واحد ها را ثابت فرض می کند. بنابراین واحد های کوچک و بزرگ باهم مقایسه می شوند.
• بازده به مقیاس متغیر(BCC): یعنی هر مضربی از ورودی ها می تواند همان مضرب از خروجی ها یا کمتر از آن و یا بیشتر از آن را تولید کند.
• الگوی BCC بازده به مقیاس را متغیر فرض می کند.

در الگوی CCR مقادیر بدست آمده برای کارایی در دو دیدگاه مساوی هستند ولی در مدل BCC این مقادیر متفاوت هستند.

---

بازده به مقیاس ثابت (CCR)

این الگو دارای بازده ثابت به مقیاس است و سعی دارد با انتخاب وزن های بهینه برای متغیر های ورودی و خروجی واحد تحت بررسی، کسر کارایی این واحد (واحد صفر) را به گونه ای بیشتر کند که کارایی سایر واحدها از حد بالای یک تجاوز نکند.

در این مدل ورودی xij و خروجی Yij اعداد مثبت بوده و مقادیر Ur و Vr  اوزان مجهول و به عبارت دیگر متغیرهای تصمیم مدل برنامه ریزی می باشند.

در این مدل با تخصیص وزن ها به صورت ضرایب به هرکدام از ورودی ها و خروجی ها، ورودی های و خروجی های چندگانه به یک ورودی و خروجی مجازی تبدیل می شود.

مدل مضربی و ثانویه CC

مدل اولیه DEA یک برنامه کسری خطی است که باید به مدل خطی تبدیل شود تا بتوان به روش های برنامه ریزی خطی آن را حل کرد. مدل CCR را با استفاده از روش های پیشنهادی چانز می توان به قالب برنامه ریزی خطی تبدیل کرد.

برای حداکثر کردن مقدار مقدار یک عبارت کسری کافی است مخرج کسر را معادل یک عدد ثابت در نظر گرفته و صورت کسر را حداکثر نمود.

در مدل CCR مخرج کسر تابع هدف را برابر یک در نظر گرفته و مدل برنامه ریزی خطی به این صورت نوشته می شود.

در ارزیابی واحد تصمیم گیری p ام جواب بهینه نشان دهنده ترکیبی از واحدهای تصمیم گیری با ضرایب jλ است که این ترکیب با نسبتی از ورودی های واحد p ام بتواند ستاده های واحد p ام را تولید کند.

دو مشکل در بکارگیری مدلهای کلاسیک (مدل های CCR) رخ می دهد:

• ضعف قدرت تفکیک
• توزیع غیرواقعی وزن به ورودیها و خروجی های مدل

---

بازده به مقیاس متغیر (BCC)

درسال 1984 بنکر چارلز و کوپر با تغییر در مدل CCR مدل جدید را عرضه کردند. که با توجه به حروف اول نام آنان به مدل BCC شهرت یافت. مدل BCC مدلی از انواع مدل های تحلیل پوششی داده هاست که در ارزیابی کارایی نسبی واحدهایی با بازده متغیر نسبت به مقیاس می پردازد.

مدل مضربی و ثانویه BCC

به این معنی که افزایش خروجی بیشتر یا کمتر از نسبت افزایش در ورودی است. مدل BCC برای ارزیابی کارایی واحد تحت بررسی p  به صورت زیر می باشد.

در این مدل، علامت متغیر u₀ که یک متغیر آزاد است، نشانگر نوع بازده به مقیاس تولید واحد مورد ارزیابی است. فرض بازدهی ثابت نسبت به مقیاس تنها در صورتی قابل اعمال است که بنگاه ها در مقایسه بهینه عمل کنند. مسایل متفاوتی از قبیل اثرات ناشی از رقابت، محدودیت ها و غیره موجب می شود بنگاه ها در مقیاس بهینه عمل نکنند.

الگوی BCC، بازده به مقیاس را متغیر فرض می کند. مدل های بازده به مقیاس ثابت واحدهای کارای کمتری را در بر می گیرد و محدودکننده تر از مدل بازده به مقیاس متغیر می باشد. لذا می توان گفت بازده به مقیاس واحد ارزیابی:

• کاهشی است اگر u₀<0
• ثابت است اگرu₀=0
• افزایشی است اگر u₀>0

مدل های ثانویه BCC در حالت خروجی محور و ورودی محور به صورت جدول می باشند.(D

---

مثال روش DEA (تحلیل پوششی داده ها)

در این مقاله برای هر دو مدل تحلیل پوششی داده های ثابت و متغیر مثال های مرتبط با آن عنوان شده است.

مثال مدل بازده به مقیاس ثابت (CCR)

شش واحد تصمیم گیرنده زیر را با دو ورودی و دو خروجی در نظر بگیرید سپس با فرم اولیه CCR کارایی واحد ها را محاسبه نمایید.

خروجی ها	ورودی ها
دوم(Y2)	اول(Y1)	دوم(X2)	اول(X1)	واحدها
0.35	1.4	0.2	1.5	A
2.1	1.4	0.7	4	B
1.05	4.2	1.2	3.2	C
4.2	2.8	2	5.2	D
2.5	1.9	1.2	3.5	E
1.5	1.4	0.7	3.2	F

 ساخت مدل اولیه و حل آن توسط یکی از نرم افزارها ( LINGO , WINQSB)

• Max Z_A=1.4 u₁ + 0.35 u₂
• st. 1.5 v₁+0.2 v₂ = 1
• 1.4 u₁ + 0.35 u₂ – 1.5 v₁ -0.2 v₂ ≤ 0
• 1.4 u₁ + 2.1 u₂ – 4 v₁ -0.7 v₂ ≤ 0
• 4.2 u₁ + 1.05 u₂ – 3.2 v₁ -1.2 v₂ ≤ 0
• 2.8 u₁ + 4.2 u₂ – 5.2 v₁ – 2 v₂ ≤ 0
• 1.9 u₁ + 2.5 u₂ – 3.5 v₁ -1.2 v₂ ≤ 0
• 1.4 u₁ + 1.5 u₂ – 3.2 v₁ -0.7 v₂ ≤ 0
• u₁ , u_{2 ,} v₁ , v₂ ≥ 0

نتایج حل مدل CCR واحدهای مختلف

Z*	U1	U2	V1	V2	واحد
1	0/714	0	0/517	1/120	A
1	0	0/476	0/137	0/642	B
1	0/238	0	0/312	0	C
1	0	0/238	0/192	0	D
0/9775	0/1151	0/304	0/110	0/513	E
0/8675	0/162	0/427	0/155	0/722	F

همان طور که می دانید Z* امتیاز کارایی برای تمام واحدهای مورد بررسی می باشد و تحلیل جدول فوق نشان از کارایی 4 واحد A,B,C,D می دهد.

---

مثال مدل بازده به مقیاس متغیر (BCC)

در یک پروژه ای می خواهیم عملکرد 12 بانک را با هم مقایسه و راه های بهبود عملکرد آن ها را پیدا کنیم. برای این کار داده های زیر جمع آوری شده اند. بازگشت به مقیاس ، متغیر فرض می شود. سرمایه، وام و سرمایه گذاری با واحدهای یکسان محاسبه شده اند.

داده ها	ستاده ها
بانک (DMU)	تعداد کارکنان	سرمایه	وام ها	سرمایه گذاری
1	20	151	100	90
2	19	131	150	50
3	25	160	160	55
4	27	168	180	72
5	22	158	94	66
6	55	255	230	90
7	33	235	220	88
8	31	206	152	80
9	30	244	190	100
10	50	268	250	100
11	53	306	260	147
12	38	284	250	120

بر اساس داده های موجود برای بانک اول، یک مدل تحلیل پوششی داده ها را نوشته و با یک نرم افزار حل برنامه ریزی خطی حل کنید.

MODEL:

MIN=e;

20*x1+19*x2+25*x3+27*x4+22*x5+55*x6+33*x7+31*x8+30*x9+50*x10+53*x11+38*x12<=20*e;

151*x1+131*x2+160*x3+168*x4+158*x5+255*x6+235*x7+206*x8+244*x9+268*x10+306*x11+284*x12<=151*e;

100*x1+150*x2+160*x3+180*x4+94*x5+230*x6+220*x7+152*x8+190*x9+250*x10+260*x11+250*x12>=100;

90*x1+50*x2+55*x3+72*x4+66*x5+90*x6+88*x7+80*x8+100*x9+100*x10+147*x11+120*x12>=90;

@free(e);

END

---

نتیجه‌گیری

روش DEA (Data Envelopment Analysis) یکی از قدرتمندترین ابزارهای ارزیابی کارایی نسبی واحدهای تصمیم‌گیری (DMU) است. با استفاده از برنامه‌ریزی خطی، روش DEA بدون نیاز به فرض توزیع آماری یا وزن‌های پیش‌فرض، می‌تواند کارایی هر DMU را نسبت به یک مرز کارایی (efficient frontier) محاسبه کند.

این ویژگی باعث می‌شود که DEA در حوزه‌های مختلفی از جمله مدیریت زنجیره تأمین، بهینه‌سازی عملکرد بیمارستان‌ها، ارزیابی کارایی بانک‌ها، و حتی در مقایسه دوره‌های آموزشی کامپیوتر (به‌عنوان یک مثال کاربردی) به‌کار رود. از مزایای کلیدی DEA می‌توان به موارد زیر اشاره کرد:

مزیت	توضیح
بدون نیاز به وزن‌های پیش‌فرض	وزن‌های ورودی/خروجی به‌صورت بهینه توسط مدل تعیین می‌شوند.
قابلیت مقایسه چند‑بعدی	همزمان می‌توان چندین ورودی و خروجی را در ارزیابی گنجاند.
تشخیص نقاط ضعف	با تحلیل پارتنرهای (peers) ناکارآمد، مسیر بهبود واضح می‌شود.
قابلیت ترکیبی‌سازی	می‌توان مدل‌های ورودی‑محور، خروجی‑محور یا ترکیبی (BCC) را انتخاب کرد.

در نهایت، روش DEA نه تنها یک ابزار عددی برای محاسبه کارایی است، بلکه یک چارچوب تحلیلی برای شناسایی فرصت‌های بهبود، تخصیص بهینه منابع و تصمیم‌گیری استراتژیک می‌باشد. برای استفاده مؤثر از این روش، توصیه می‌شود داده‌های ورودی/خروجی به‌دقت انتخاب، پاک‌سازی و نرمال‌سازی شوند؛

همچنین نتایج DEA را با تحلیل‌های تکمیلی (مثلاً تحلیل حساسیت یا روش‌های آماری) ترکیب کنید تا تصویر جامع‌تری از عملکرد سازمان یا دوره آموزشی به دست آید.

---

سوالات متداول (FAQ) درباره روش DEA