تابع مطلوبیت

مطلوبیت در معنی ((رضایت خاطری که از مصرف کالاها و خدمات  نصیب مصرف کننده می گردد)). مطلوبیت ابتدا در فلسفه به کار گرفته شد، بنتهام آن را به معنی میل به ایجاد نفع بکار برد و استوارت میل این اصطلاح را در رفتارهای انسانی مطرح کرد بطوری که به مطلوبیت گرایان شهرت یافتند. با انتشار کتاب جونز (1873) نظریه بنتهام وارد اقتصاد شد و همچنین توسط مورگن اشترن (1995) به عنوان وسیله ای برای سنجش نتیجه حاصل از تصمیم به کار گرفته شد.

تعیین میزان مطلوبیت افراد برای کمک به تصمیم گیری در شرایط عدم اطمینان  نیومن و اشترن برای رتبه بندی قرعه ها از مطلوبترین و بدترین نتیجه حاصل از قرعه ها استفاده کردند به عنوان مثال اگر چهار قرعه زیر را با احتمالات مختلف با توجه به نظر (DM) داشته باشیم می توان به ترتیب رتبه بندی کرد:

تابع مطلوبیت

(L3 <   L4 <   L2 < L1)

تعیین میزان مطلوبیت افراد
تعیین میزان مطلوبیت افراد

تعیین مطلوبیت پولی: مطلوبیت عایدی ri  را به صورت u(ri) نوشته می شود و مقدار pi در دو قرعه زیر بگونه ای تعیین می شود که بین این دو بی تفاوتی حاکم شود.

بیشترین عایدی با مطلوبیت یک و کمترین عایدی با مطلوبیت صفر و برای هر قرعه داریم

(EU=∑PIU(Ri

تعیین مطلوبیت پولی
تعیین مطلوبیت پولی

آکسیوم های مطلوبیت : در جهت ترجیحات شخصی DM

  1. سه گانگی: برای هر دو عایدیr1 و r2 یکی از موارد زیر درست است:DM یا r1 را به  r2 یاr2  را به r1 و یا بی تفاوت به هر دو است.
  2. انتقال پذیری: اگر شخصی r1 را به r2 و r2 را به r3 ترجیح دهد آنگاه r1 را به r3 ترجیح می دهد.
  3. پیوستگی: اگر تصمیم گیرنده r1 را به r2 و r2 را به r3 ترجیح دهد، آنگاه برای بعضی ازP ها (1> P> 0)L2 ~ L1 است.
  4. استقلال: اگر تصمیم گیرنده بین r1 و r2 بی تفاوت باشد و r3 عایدی دیگری باشد آنگاه برای (1> P> 0) L2 ~ L1
  5. احتمال نابرابر: اگر نتایج دو قرعهr1  و r2 باشد قرعه ای ترجیح داده می شود که دارای احتمال کسب عایدی بیشتری باشد.

تابع مطلوبیت چند شاخصه

هنگامیکه بیش از یک شاخص در ترجیحات موثر باشد آقایان raiffa&keeney (1976) معروفترین روش عملی برآورد از تابع مطلوبیت را پیشنهاد میدهند. روش آنان بر اساس تجزیه مساله به شاخصهای تشکیل دهنده آن بود و تعیین یک تابع مطلوبیت شرطی برای هر شاخص که این توابع شرطی به وسیله یکی از فرمهای زیر با یکدیگر ترکیب می شوند:

فرم جمع پذیر: (برای استفاده از آن احتیاج به شرط استقلال جمع پذیر داریم)

فرم جمع پذیر
فرم جمع پذیر

فرم حاصلضرب: (برای استفاده از آن احتیاج به شرط استقلال مطلوبیت متقابل داریم)

فرم حاصلضرب
فرم حاصلضرب

فرم ترکیبهای خطی چند گانه: (برای استفاده از آن فقط احتیاج به استقلال مطلوبیت داریم)

فرم ترکیبهای خطی چند گانه
فرم ترکیبهای خطی چند گانه

 به طوری که (uj (rj بین صفر و یک خواهد بود و (UJ (rj  یک تابع مطلوبیت شرطی است چنانچه:

  • Uj (rj0)=0 به ازای ارزشی همچون rj0
  • UJ(r*j)=1 به ازای ارزشی همچون r*j

خواص تابع مطلوبیت چند شاخصه

استقلال ترجیحی: شاخص x1 از شاخص x2 مستقل ترجیحی است اگر ترجیحات برای مقادیر شاخص اول به مقادیر شاخص دوم بستگی نداشته باشد.

استقلال ترجیحی دو به دو: شاخص x1 از شاخص x2 مستقل ترجیحی است اگر ترجیحات برای مقادیر شاخص اول به مقادیر شاخص دوم بستگی نداشته باشد و بر عکس. دو شاخص x1 از x2 از سایر شاخصها مستقل ترجیحی است اگر درجه ترجیح پیامدهای در برگیرنده تغییرات مربوط به سطح x1 و x2 به سطحی ثابت از سایر شاخصها بستگی نداشته باشد.

استقلال مطلوبیت: شاخص x1 از شاخص x2 استقلال مطلوبیت دارد اگر ترجیحات برای قرعه ها در میزان متفاوتی از سطح شاخص اول به مقادیر شاخص دوم بستگی نداشته باشد. استقلال مطلوبیت دو به دو: اگر x1 از x2 استقلال مطلوبیت داشته باشد و بالعکس

U(X1,X2)=K1U1(X1)+ K2U2(X2) + K3U1(X1) U2(X2)

استقلال جمع پذیر: شاخصهای X1 ,X2,……Xn مستقل جمع پذیرند اگر درجه ترجیح برای پیشامدهای تصادفی به توزیع های احتمال مشترک آنها وابسته نبوده و تنها به توزیع احتمال حاشیه ای آن بستگی داشته باشد.برای دو شاخص مستقل جمع پذیر داریم:

U(X1,X2)=K1U1(X1)+ K2U2(X2)

استقلال جمع پذیر
استقلال جمع پذیر

گامهای لازم برای تعیین مطلوبیت چندگانه:

  1. بررسی استقلال مطلوبیت دو به دو اگر دارند به گام 2 اگر نه تعیین مطلوبیت چندگانه
  2. بررسی وضعیت استقلال جمع پذیر.
  3. محاسبه (U1(X1) و (U2(X2
  4. محاسبهK ها
  5. بررسی تابع مطلوبیت تعیین شده از نظر پیش بینی ترجیحات DM.

مثال تئوری تابع مطلوبت

مساله زیر را با استفاده از روش تابع مطلوبیت حل کنید:

Max f1(x) = 0.2 x1 + 0.7 x2

Max f2(x) = x2

s.to

2×1 + x2 <= 500

x1 + 2×2 <= 300

x1, x2 >=0

به منظور ارزیابی ترجیهات مدیریت شرکت دو مساله برنامه ریزی خطی زیر از طریق WINQSBحل می گردد:

مساله دوم                                                            مساله اول

Max f1(x) = 0.2 x1 + 0.7 x2                                                     Max f2(x) = x2

s.to                                                                                          s.to

2×1 + x2 <= 500                                                                       2×1 + x2 <= 500

x1 + 2×2 <= 300                                                                       x1 + 2×2 <= 300

x1, x2 >=0                                                                                x1, x2 >=0

x1*=0  , x2*=150, z1*=105                                                     x1*=0, x2*=150, z2*=150

بدین ترتیب ملاحظه می گردد:

0 <= Z1*<= 105

0<= Z2*<= 150

برای بدست آوردن (U1(z1,z2  مراحل زیر را انجام می دهیم:

تابع مطلوبیت
تابع مطلوبیت

گام اول:بررسی استقلال شاخص های z1  وz2:

فرض می کنیم بازی های زیر برای تصمیم گیرنده دارای ارجحیت یکسان می باشند:

بررسی استقلال شاخص ها
بررسی استقلال شاخص ها

بررسی استقلال دو به دو شاخص ها:

بررسی استقلال دو به دو شاخص ها
بررسی استقلال دو به دو شاخص ها

بدین ترتیب مطلوبیت z1  از z2  مستقل است در صورتی که z2  نسبت به z1  نیز مستقل باشد می توان به گام بعدی رفت.


گام دوم : بررسی استقلال و جمع پذیری شاخص ها

بررسی استقلال و جمع پذیری شاخص ها
بررسی استقلال و جمع پذیری شاخص ها

گام سوم :محاسبه (u (z1  و   (u (z2

ابتدا بازی های بی تفاوتی را با DM  مطرح نموده و برای هر کدام از آن جهت دقت تابع مطلوبیت 10 نقطه در نظر می گیریم.

بازی های بی تفاوتی
بازی های بی تفاوتی

همچنین به طور دلخواه مبدا را بدین صورت در نظر می گیریم: u1(0,0)=0       u1(1,1)=0 

برای  z1 از عدد80  شروع می کنیم که فرضیهDM در بی تفاوتی است

اولویت محاسبه

U(z1)

Z1

0

0

0

8

50% u( 2 0) + 50% u(0)= 16.6

10

7

60% u( 40 )+ 40% u(0)=3 3.2

20

9

70% u( 4 0) +30% u( 2 0)= 48.6

30

6

70% u( 60 )+ 30% u(0)=5 5.4

40

2

60%u(105 )+40% u (0)=60

50

5

80% u( 70 ) +20% u( 50 )= 79.2

60

3

60% u(1 05 ) + 40% u( 50 )=8 4

70

4

90%u( 90 )+10%u( 50 )= 91.5

80

1

95% u(1 05 ) + 5% u (0) = 95

90

0

100

105

برای  z2 از عدد 135  شروع می کنیم که فرضیه DM در بی تفاوتی است

اولویت محاسبه

U(z2)

Z2

0

0

0

8

50% u(30) + 50% u(0)=18

15

7

60% u(60)+ 40% u(0)=35

30

9

70% u(60) +30% u(30)=46

45

6

70% u(90)+ 30% u(0)=55

60

2

60%u(150 )+40% u (0)=60

75

5

80% u(105) +20% u(75)=78

90

3

60% u(135) + 40% u(75 )=82

105

4

90%u(135)+10%u(75)=88

120

1

95% u(150 ) + 5% u (0) = 95

135

0

100

150

با استفاده از نرم افزار Eviews تابع مطلوبیت را محاسبه می نماییم:

x1>=0               2x1+x2<=500

x2>=0               x1+2x2<=300

u1(f1)=a1(1-eb1f1)      u2(f2)=a2(1-eb2f2)

a1=139.857          b1=-0.01263      a2=127.25   b2=-0.010167

u1 (z1) = 139.857(1-e0.01263z1)  u2 (z2) = 127.25 (1-e-0.010167z2)


گام چهارم :تعیین مقادیر K1, K2, K3

فرض می کنیم DM  مقادیر K1=0.7  و K2=0.6  را در نظر گرفته است لذا چون مجموع هر سه k  باید برابر 1 گردد مقدار 0.3-=(K3 = (1-0.7-0.6 تعیین می گردد.

بهترین و بدترین مقدار تابع
بهترین و بدترین مقدار تابع

K2= 0.3     ,   1- K2= 0.7

K3+K2+K1=1  K3= 1- K1+ K2   → →    K3= 1- 0.6+ 0.3=0.1

U(z1,z2) = 0.7 u1(z1,0)+0.6 u2(z2,0)-0.3u3(z1,0)*u2(z2,0)

U (z1, z2) = 0.7 *(139.857(1-e0.01263z1))+0.6(127.25 (1-e-0.010167z2))-0.3(139.857(1-e0.01263z1)* 127.25 (1-e-0.010167z2)


گام پنجم: محاسبه مقدار U

حال با حل کرده معادله فوق و اعمال محدودیت ها x1  و x2  بهینه تابع را با استفاده از نرم افزار WINQSB  بدست می آوریم:

U (x1, x2) = 0.7 *(139.857(1-e0.01263×1)) + 0.6(127.25 (1-e-0.010167×2))-0.3(139.857(1-e0.01263×1)* 127.25 (1-e-0.010167×2)

U (x1, x2) = -5164.79+5175.36 x+5209.46 y-5218.7 x y

S.to:        2X1 + X2≤ 500

               X1 + 2 X2≤ 300

                 X1, X2 ≥ 0

X1*

X2*

F1(x*)

F2(x*)

U(x1,x2)

250

0

50

0

5400

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

X
سوالی دارین؟