روش سکانت

روش نیوتن برای به حداقل رساندن تابع f از مشتق دوم تابع استفاده می نماید:

x ^(k+1) = x ^(k) – (f'(x^(k)) / f”(x^(k)))

روش سکانت

حال اگر مشتق دوم در دسترس نباشد، ممکن است تلاش کنیم تا برای تخمین آن از اطلاعات مشتق اول استفاده نماییم. به طور خاص، ممکن است ما تقریبی از تابع f”(x) را از طریق زیر محاسبه نماییم:

f'(x^(k)) – f'(x^(k-1)) / x^(k) –x^(k-1)

با استفاده از تقریب فوق از مشتق دوم، الگوریتم زیر را به دست آوریم که به آن روش سکانت گفته می شود.

x ^(k+1) = x ^(k) – [(x^(k) –x^(k-1) ) / f'(x^(k)) – f'(x^(k-1))] * f'(x^(k))

توجه داشته باشید که الگوریتم ما نیاز به دو نقطه اولیه برای شروع دارد که ما آنها را ⁽X⁽⁰  و ⁽X^(-1  نامگذاری می نماییم. روش سکانت را می توان در قالب معادله زیر نشان داد:

x ^(k+1) = [f'(x^(k)) x ^(k-1) – f'(x^(k-1)) x ^(k)] / [f'(x^(k)) – f'(x^(k-1))]

مشاهده می نمایید که مانند روش نیوتن، روش سکانت به طور مستقیم از مقدار (⁽f(x^(k  استفاده نمی نماید. در عوض، تلاش می کند مقدار مشتق اول تابع ‘f را به سمت صفر هدایت نماید. درواقع ، مانند روش نیوتن، می توان از روش سکانت به عنوان یک الگوریتم برای حل معادلات به شکل g(x) =0  استفاده نمود. به طور خاص روش سکانت برای یافتن معادلات به شکل g(x) =0 به صورت زیر خواهد بود:

x ^(k+1) = x ^(k) – [(x^(k) –x^(k-1) ) / g(x^(k)) – g(x^(k-1))] *g(x^(k))

یا به طور مشابه:

x ^(k+1) = [g(x^(k)) x ^(k-1) – g(x^(k-1)) x ^(k)] / [g(x^(k)) – g(x^(k-1))]

روش سکانت برای پیدا کردن ریشه در شکل زیر نشان داده شده است. بر خلاف روش نیوتن، که از شیب g برای تعیین نقطه بعدی استفاده می نماید ، روش سکانت از ” خط قاطع” بین (k-1) امین و k امین نقطه برای تعیین (k+1) استفاده می نماید.