روش گرادیان

---

مثال روش گرادیان

Max  f1(x)= – x1 – 2 x2 – 3 x3

       f2(x) = – x1 – 2 x2 – x3

       f3(x) = -2×1 – x2 –x3

S . to :

        2×1 + 5×2 + 3 x3 ≥ 30

        x1 + x2 + x3 ≥ 18

        10×1 + 8×2 + 4 x3 ≥40

        3×1+2×2 ≥20

         x1 , x2 , x3 ≥ 0

انتقال یکم :

نقطه عملی) :قدم یکم)         x’ ∈ S    ->   x¹= (2, 9, 7)   , i=1 ,  ε =0.15

مفروضات مسئله:                 F⁰ = {F¹(x¹), F²(x¹), F³(x¹)}   ->  F⁰ = { (-41, -27, -20)

قدم دوم : (f1 در مقابل  f2)  {(-41-20 )   ,   ( -27 + 2 )    , ( -20 )} = > w¹₂=-(2/-20) = 0.1

قدم دوم : (f2 در مقابل  f3)  {(-41)  ,   ( -27 + 2 )    , ( -20- 10 )}= > w¹₃=-(2/-10) = 0.2    ->  w₁=(0.1 , 1, 0.2)

محاسبه Y₁, d₁ = 0.1(-1  ,  -2    ,  -3 ) Y₁  +1( -1  ,  -2  ,  -1) Y₁ +  0.2 ( -2  , -1  , -1 ) Y₁ 

Y₁={Y1₁ , Y2₁ , Y3₁ }

Max: 0.1f1(Y1) + 1f2(Y1)+ 0.2 f3(Y1)

S.to Y1 ∈ S

S  فضای حاصل از محدودیتهای مسئله: Y₁ = {0, 0, 10}    d₁= = {(0 – 2), (0 – 9),  (10 – 7)} = {-2, – 9, 3}

مشخص نمودن بهینه : قدم سوم 

برای f1  داریم ( محاسبات برای 0.2= λو  0.4= λو 0.6= λو 0.8= λ و اگر 1= λ) :

-1 ( 2 + .2 ( -2 )) -2 ( 9 + .2 ( -9 ))-3( 7 + .2 ( 3 )) =-38.8

-1 ( 2 + .4 ( -2 )) -2 ( 9 + .4 ( -9 ))-3( 7 + .4 ( 3 )) =- 36.7

-1 ( 2 + .6 ( -2 )) -2 ( 9 + .6 ( -9 ))-3( 7 + .6 ( 3 )) =-34.4

-1 ( 2 + .8 ( -2 )) -2 ( 9 + .8 ( -9 ))-3( 7 + .8 ( 3 )) =-32.1

-1 ( 2 + 1 ( -2 )) -2 ( 9 + 1 ( -9 ))-3( 7 + 1 ( 3 )) =-30

برای f2  داریم:

-1 ( 2 + .2 ( -2 )) -2 ( 9 + .2 ( -9 ))- ( 7 + .2 ( 3 )) =-23.6

-1 ( 2 + .4 ( -2 )) -2 ( 9 + .4 ( -9 ))- ( 7 + .4 ( 3 )) =- 20.2

-1 ( 2 + .6 ( -2 )) -2 ( 9 + .6 ( -9 ))- ( 7 + .6 ( 3 )) =-16.8

-1 ( 2 + .8 ( -2 )) -2 ( 9 + .8 ( -9 ))- ( 7 + .8 ( 3 )) =-13.4

-1 ( 2 + 1 ( -2 )) -2 ( 9 + 1 ( -9 ))- ( 7 + 1 ( 3 )) =-10

و برای f3   داریم :

-2 ( 2 + .2 ( -2 )) -1 ( 9 + .2 ( -9 ))- ( 7 + .2 ( 3 )) =-18

-2 ( 2 + .4 ( -2 )) -1 ( 9 + .4 ( -9 ))- ( 7 + .4 ( 3 )) =- 16

-2 ( 2 + .6 ( -2 )) -1 ( 9 + .6 ( -9 ))- ( 7 + .6 ( 3 )) =-13.8

-2 ( 2 + .8 ( -2 )) -1 ( 9 + .8 ( -9 ))- ( 7 + .8 ( 3 )) =-12

-2 ( 2 + 1 ( -2 )) -1 ( 9 + 1 ( -9 ))- ( 7 + 1 ( 3 )) =-10

1=λ1	0.8=λ1	0.6=λ1	0.4=λ1	0.2=λ1	0=λ1
-30	-32.1	-34.4	-36.7	-38.8	-41	F1
-10	-13.4	-16.8	-20.2	-23.6	-27	F2
-10	-12	-13.8	-16	-18	-20	F3

در صورتی که 0.4=λ مورد نظر خبره باشد: ( -36.7    ,   –  20.2     ,   -16   )

 به منظور انتقال به مرحله دوم باید محاسبه شود :

x²= ( X¹ + λ1 d1)

x²= 2+ 0.4  -2=1.2

x²= 9+ 0.4  -9=5.4

x²= 7+ 0.4  3=8.2

x²= ( 1.2  ,   5.4   ,   8.78  ) ->  F ={ (-38.34)  , (  -20.78  )  ,  ( -16.58 ) }

قدم چهارم: کلیه گام ها مانند قبل تکرار می شود و مقدار ( -47.636   , -19.032     ,   -17.422   ) = F2  بدست می آید. حال شرط خاتمه بررسی می شود که در صورت تصدیق میزان بهینگی الگوریتم از حرکت باز می ایستد.