محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

اگر n معیار به شرح C1, C2,…, Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : [A=[a_ij به طوری که i,j=1,2,…,n ،که در آن a_ij ترجیح عنصر c_i را بر c_j نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :  a_ik x ak_{j =} a_ij  آنگاه می گوییم ماتریس سازگار است.

محاسبه نرخ سازگاری در روش (AHP)

مثال: برای ماتریس زیر نرخ سازگاری را محاسبه نمایید.

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :

• وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
• ویژه برابر طول ماتریس است (AW = nW) .
• ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

• قضیه یک – اگر λ1,λ2,..λn مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است:
• λi=n∑
• قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه λ max همواره بزرگتر یا مساوی n  است (در این صورت برخی از λ ها منفی خواهند بود)
• λ_max>=n
• قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت که در آن A x W = λ x W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد. λmax یک مقدار ویژه برابر n ( بزرگترین مقدار ویژه) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت: AW=nW
• در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3، کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت:

A x W = λmax x W -> λmax -n 

شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1

محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
2. بردار وزن W را مشخص نمایید .
3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی λmax مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
   1. با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی از λmax*W به دست آورید
   2. با تقسیم مقادیر به دست آمده برای λmax.W برW مربوطه تخمین هایی از λmax را محاسبه نمایید .
   3. متوسط λmax به دست آمده را پیدا کنید .
4. مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه روبرو محاسبه می کنیم: شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1
5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : I.R = I.I / I.I.R

مثال: برای ماتریس زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه نمایید.

قدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :