محاسبه نرخ سازگاری در روش (AHP)

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

اگر n معیار به شرح C1, C2,…, Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : [A=[a_ij به طوری که i,j=1,2,…,n ،که در آن a_ijترجیح عنصر c_i را بر c_j نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم : a_ik x ak_{j =}a_ij آنگاه می گوییم ماتریس سازگار است.

محاسبه نرخ سازگاری در روش (AHP)

مثال: برای ماتریس زیر نرخ سازگاری را محاسبه نمایید.

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :

مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
مقدار ویژه برابر طول ماتریس است (AW = nW) .
مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

قضیه یک – اگر λ۱,λ۲,..λn مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است:
λi=n∑
قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه λ max همواره بزرگتر یا مساوی n است (در این صورت برخی از λ ها منفی خواهند بود)
λ_max>=n
قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت که در آن A x W = λ x W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد. λmax یک مقدار ویژه برابر n ( بزرگترین مقدار ویژه) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت: AW=nW
در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه ۳، کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت:

A x W = λmax x W -> λmax -n

شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
بردار وزن W را مشخص نمایید .
آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی λmax مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
1. با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی از λmax*W به دست آورید
2. با تقسیم مقادیر به دست آمده برای λmax.W برW مربوطه تخمین هایی از λmax را محاسبه نمایید .
3. متوسط λmax به دست آمده را پیدا کنید .
مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه روبرو محاسبه می کنیم: شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1
نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : I.R = I.I / I.I.R

مثال: برای ماتریس زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه نمایید.

قدم ۱و۲: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را I.I می نامیم . همچنین وزن عناصر را در I.I ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان I.I.R را نامگذاری می کنیم . حاصل تقسیم I.I / I.I.R نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .

مثال: مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی XوY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: قابلیت رهبری و هدایت(L) تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.