محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

اگر n معیار به شرح C1, C2,…, Cn داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : [A=[a_ij به طوری که i,j=1,2,…,n ،که در آن a_ij ترجیح عنصر c_i را بر c_j نشان می دهد . چنانچه در این ماتریس داشته باشیم :  a_ik x ak_{j =} a_ij  آنگاه می گوییم ماتریس سازگار است.

مثال: برای ماتریس زیر نرخ سازگاری را محاسبه نمایید.

هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است :

• مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد.
• مقدار ویژه برابر طول ماتریس است (AW = nW) .
• مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است .

ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن

• قضیه یک – اگر λ1,λ2,..λn مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است:
• λi=n∑
• قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه λ max همواره بزرگتر یا مساوی n  است (در این صورت برخی از λ ها منفی خواهند بود)
• λ_max>=n
• قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت که در آن A x W = λ x W به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد. λmax یک مقدار ویژه برابر n ( بزرگترین مقدار ویژه) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت: AW=nW
• در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3، کمی از n فاصله می گیرد که می توان نوشت:

A x W = λmax x W -> λmax -n 

شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس

1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید.
2. بردار وزن W را مشخص نمایید .
3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A (یعنی λmax مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید . در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید :
   1. با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی از λmax*W به دست آورید
   2. با تقسیم مقادیر به دست آمده برای λmax.W برW مربوطه تخمین هایی از λmax را محاسبه نمایید .
   3. متوسط λmax به دست آمده را پیدا کنید .
4. مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه روبرو محاسبه می کنیم: شاخص ناسازگاری = I.I = λmax – n / n -1
5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید : I.R = I.I / I.I.R

مثال: برای ماتریس زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه نمایید.

قدم 1و2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم :

الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم . این حاصل جمع را I.I می نامیم . همچنین وزن عناصر را در I.I ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان I.I.R را نامگذاری می کنیم . حاصل تقسیم I.I / I.I.R نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد .

مثال: مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی X وY یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از: قابلیت رهبری و هدایت(L) تواناییهای شخصی(P) وتواناییهای اداری(A) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند.

محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP

در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم :

محاسبه نرخ سازگاری در روش AHP