مقایسه میانگین دو بردار

  • آزمون مقایسه دو نمونه با آزمون t در آماره تک متغیره

درحالت یک متغیره یک نمونه تصادفی y1,y2  تا yn از توزیع نرمالN(µ121) و نمونه تصادفی دوم  y2  تا yn از توزیع نرمالN(µ222)  بدست می آید. فرض براین است که دو نمونه مستقل از یکدیگر هستند و نیز فرض بر آن است که σ22=1 σ2= σ2است و σ2 نا معلوم می باشد.

مقایسه میانگین دو بردار

فرض استقلال و تساوی واریانس ها برای استفاده از t2 لازم است. از این رو نمونه Ӯ1 , Ӯ2  را بدست می آوریم

سپس

و

را بدست می آوریم.

واریانس مشترک  را به شرح زیر به دست می آوریم:

واریانس مشترک  برآورد کننده نااریب واریانس مشترک σمی باشد یعنی   می باشند.

در این آزمون خواهیم داشت:

H0: µ=µ0               H1: µ≠µ0

که دارای توزیع t با درجه آزادی n1+n2-2 می باشند. اگر n1+n2-2 و α/2 |t| ≥ t باشد فرض صفر رد می شود.

  • آزمون T2 دو نمونه ای چند متغیره

در اینجا دو نمونه داریم و از هریک از افراد نمونه P متغیر اندازه می گیریم.آزمون فرض به صورت زیر است:

H0: µ=µ0               H1: µ≠µ0

در اینجا از (NP1,∑1 یک نمونه تصادفی اول و از نمونه تصادفی دوم (NP2,∑2 بدست می آید. فرض بر آن است که دو نمونه مستقل از یکدیگر هستند و ∑=∑1=∑2 می باشد و مقدار آن نامعلوم است. برای اینکه T2 دارای توزیع T2 باشد. این فرضیات لازم است.

فرض کنید ماتریس های مجموع مربعات و مجموع حاصلضرب ها برای دو نمونه را با W1  و W2 نمایش می دهیم در آن صورت خواهیم داشت:

بنابراین (E(Sp1=∑ می باشد. مجذور آماره t به صورت زیر است:

اگر به جای اگر به جای(Ӯ21Ӯ) بردارهای (Ӯ21Ӯ) و به جای S2p1 ماتریس واریانس-کواریانس مشترک یعنی Sp1 را قرار دهیم خواهیم داشت:

که دارای توزیع T2P,n1+n2-2 می باشد. اگرT2 ≥ T2P,n1+n2-2  باشد فرض H0 رد می شود.

خصوصیات کلیدی آزمون T2

  • برای اینکه Sp1 non-singular باشد لازم است n1+n2-2>P باشد.
  • آماره T2 یک اسکالر است.
  • نظر به اینکه حد پایین T2 صفر است و حد بالاتری وجود ندارد چگالی دارای چولگی است. در واقع T2 مستقیما با F در ارتباط است که یک توزیع دارای چولگی است.
  • درجه آزادی T2 چند متغیره مثل درجه آزادی t یک متغیره یعنی برابر n1+n2-2 می باشد.
  • آماره T2 را می توان با فرمول زیر به F تبدیل نمود:

  و یا   

مثال: دو صفت بر روی هشت ژنوتیپ در دو شرایط آبی و دیم اندازه گیری شد. هر 4 ژنوتیپ به طور تصادفی در معرض یکی از شرایط قرار گرفت. نتایج به شرح زیر است:

آبیدیم
ژنوتیپ12345678
صفت یک131.514514115040.5805090
صفت دو91230365474.564.560.5

میانگین های شرایط آبی(Ẍ) و شرایط دیم(Ӯ) به شرح زیر است.

X 141.875   Y 65.125
21.75   63.375

ماتریس های واریانس- کواریانس شرایط آبی(S1) و شرایط دیم (S2) به شرح زیر است:

S1 61.4 70.13 S2 558.4 102.6
70.13 176.25 102.6 73.73

لذا فرض صفر رد می شود.

X
سوالی دارین؟