این روش برای ارزیابی اوزان (Wj) از شاخص ها و مشخص نمودن اولویت بندی از گزینه های به کار می رود.
در این روش m گزینه با n شاخص به وسیله m نقطه برداری در یک فضای n-بعدی نشان داده شده و فرض برآن است که DM گزینه های با کمترین فاصله به نقطه ایده آل را در این فضا انتخاب خواهد کرد.
روش LINMAP
فرض بر آن است که DM از دو گزینه مفروض نزدیکترین به ایده آل را انتخاب خواهد کرد و فاصله از ایده آل به
صورت فاصله اقلیدسی وزین (di) برای گزینه Ai مورد توجه قرار می گیرد، همچنین اوزان Wj به منظور تبدیل مقیاس های موجود به مقیاس های یکسان بوده که ضمنا درجه اهمیت از هر شاخص را هم نشان می دهند.
فاصله گزینه Ai از ایدآل بدین صورت است:
به طوری که r*j نشان دهنده ایدآل از شاخص jام است.
الف) فرض کنیم مجموعه {(S={(k,l نشان دهنده زوج های Ak و Al بوده به طوری که Ak بر Al ارحج است و مجموعه S به طور نرمال دارای m(m-1)/2 عنصر خواهد بود.
راه حل (*w,r) برای هر زوج مرتب شده سازگار با فاصله وزین است اگر tk≤tl باشد.
مشخص نمودن راه حل (*w,r) باید چنان باشد که تجاوز از شرط tk<tl در حداقل ممکن واقع شود.
روش LINMAP روش LINMAP روش LINMAP روش LINMAP
ب) اگر داشته باشیم tk>tl آنگاه مقدار (tk – tl) بیانگر مقدار اشتباهی است که شرط مذکور در بند الف مورد تجاوز واقع می شود.
از این رو تعریف زیر را مدنظر قرار خواهیم داد:
بدین صورت –(tl-tk) نشان دهنده مقدار اشتباه برای زوج (k,l) می باشد و مجموع این اشتباهات عبارت است از:
p= درجه عدم تناسب = ∑(k,l)∈S ( tl – tk ) –
مقدار p غیر منفی است لذا جهت مشخص نمودن راه حل (w,r) باید مقدار آن حداقل گردد.
روش LINMAP
ج) در مقابل P ارزش جدیدی به نام G درجه تناسب به صورت زیر تعریف می گردد.
G= درجه تناسب = ∑(k,l)∈S ( tl – tk ) +
د) راه حل (w,r) از حل مساله زیر بدست می آید:
روش LINMAP
این مساله با استفاده از توابع هدف جدید Φk,l و الگوریتم می نی ماکس به صورت زیر تبدیل می شود:
ت) حالات استنتاج شده از این مدل
مثال روش LINMAP
ماتریس تصمیم زیر را در نظر بگیرید. مقایسات زوجی زیر از طرف تصمیم گیرنده مشخص شده است.
به منظور دستیابی به مناسب ترین اوزان و راه حل ایده آل مساله را به روش LINMAP حل کنید.
مجموعه مقایسات زوجی:
S = {(1,2), (3,1), (4,1), (5,1), (2,3), (2,4), (2,5), (4,3), (3,5), (4,5)} | h=1 | landa = 0
| X1 | X2 | |
| A1 | 0 | 5 |
| A2 | 5 | 4 |
| A3 | 0 | 2 |
| A4 | 1 | 3 |
| A5 | 4 | 1 |
min { z12+ z31+ z41+ z51+ z23+z24+z25+z43+z35+z45}
روش لینمپ
| w1 | w2 | -2v1 | -2v2 | min | v1 | v2 | |
| (1,2) | 25 | -9 | -10 | 2 | +z(1,2) | 5 | -1 |
| (3,1) | 0 | 21 | 0 | -6 | +z(3,1) | 0 | 3 |
| (4,1) | -1 | 16 | 2 | -4 | +z(4,1) | -1 | 2 |
| (5,1) | -16 | 24 | 8 | -8 | +z(5,1) | -4 | 4 |
| (2,3) | -25 | -12 | 10 | 4 | +z(2,3) | -5 | -2 |
| (2,4) | -24 | -7 | 8 | 2 | +z(2,4) | -4 | -1 |
| (2,5) | -9 | -15 | 2 | 6 | +z(2,5) | -1 | -3 |
| (4,3) | -1 | -5 | 2 | 2 | +z(4,3) | -1 | -1 |
| (3,5) | 16 | -3 | -8 | 2 | +z(3,5) | 4 | -1 |
| (4,5) | 15 | -8 | -6 | 4 | +z(4,5) | 3 | -2 |
| sum | -20 | 2 | 8 | 4 | =h | 1 |
تابع هدف و ورودی نرم افزار WINQSB
| X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | X7 | X8 | X9 | X10 | X11 | X12 | X13 | X14 | dir | R.H.S | |
| Min | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| C1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 25 | -9 | -10 | 2 | >= | 0 |
| C2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 21 | 0 | -6 | >= | 0 |
| C3 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 16 | 2 | -4 | >= | 0 |
| C4 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -16 | 24 | 8 | -8 | >= | 0 |
| C5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -25 | -12 | 10 | 4 | >= | 0 |
| C6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | -24 | -7 | 8 | 2 | >= | 0 |
| C7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | -9 | -15 | 2 | 6 | >= | 0 |
| C8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | -5 | 2 | 2 | >= | 0 |
| C9 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 16 | -3 | -8 | 2 | >= | 0 |
| C10 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 15 | -8 | -6 | 4 | >= | 0 |
| C11 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -20 | 2 | 8 | 4 | = | 1 |
برای نرمال شدن ضربدر ضریب می کنیم تا عدد w* و v* ساده شوند.
| +z(1,2) | +z(3,1) | +z(4,1) | +z(5,1) | +z(2,3) | +z(2,4) | +z(2,5) | +z(4,3) | +z(3,5) | +z(4,5) | w* | v* | r* | |||
| 0.25 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.0277 | 0.0554 | 0.0833 | 0.1944 | 3 | 3.5 |
| 1 | 2 | 3 | 7 |
محاسبه فاصله از نقطه ایده آل
| r1j’ | r2j’ | r*1 | r*2 | w*1 | w*2 | ti | |
| a1 | 0 | 5 | 3 | 3.5 | 1 | 2 | 13.5 |
| a2 | 5 | 4 | 3 | 3.5 | 1 | 2 | 4.5 |
| a3 | 0 | 2 | 3 | 3.5 | 1 | 2 | 13.5 |
| a4 | 1 | 3 | 3 | 3.5 | 1 | 2 | 4.5 |
| a5 | 4 | 1 | 3 | 3.5 | 1 | 2 | 13.5 |