آزمون فریدمن چیست؟

در بسیاری از پژوهش‌ها، یک گروه از افراد در چند زمان یا چند شرایط مختلف اندازه‌گیری می‌شوند.

برای مثال ممکن است عملکرد کارکنان:

• قبل از آموزش
• یک ماه بعد از آموزش
• سه ماه بعد از آموزش

اندازه‌گیری شود.

یا در یک تحقیق پزشکی شدت درد بیماران در سه مرحله مختلف بررسی شود.

در چنین شرایطی داده‌ها مستقل نیستند، زیرا اندازه‌گیری‌های مختلف مربوط به همان افراد هستند.

اگر شرایط استفاده از آزمون‌های پارامتریک برقرار باشد، معمولاً از تحلیل واریانس با اندازه‌گیری تکراری استفاده می‌شود. اما اگر داده‌ها نرمال نباشند یا ماهیت رتبه‌ای داشته باشند، یکی از گزینه‌های مهم آزمون فریدمن است.

اما آزمون فریدمن چیست؟

آزمون فریدمن یا Friedman Test یک روش ناپارامتریک برای مقایسه سه یا چند نمونه وابسته است.

به زبان ساده، اگر «آزمون ویلکاکسون» را برای دو حالت وابسته در نظر بگیریم، فریدمن را می‌توان روش مناسب برای سه حالت وابسته یا بیشتر دانست.

آزمون فریدمن چیست؟

آزمون فریدمن یک آزمون ناپارامتریک است که برای بررسی تفاوت بین سه یا چند وضعیت وابسته استفاده می‌شود.

منظور از وابسته بودن این است که اندازه‌گیری‌ها مربوط به یک افراد، واحدها یا نمونه‌های یکسان هستند.

برای مثال:

یک گروه از دانشجویان در سه زمان مختلف آزمون می‌دهند:

• قبل از دوره
• بلافاصله بعد از دوره
• دو ماه بعد

چون هر سه نمره مربوط به همان دانشجویان است، داده‌ها وابسته‌اند.

اگر شرایط پارامتریک برقرار نباشد، آزمون فریدمن می‌تواند برای بررسی تفاوت بین این سه مرحله استفاده شود.

چه زمانی از آزمون فریدمن استفاده می‌کنیم؟

آزمون فریدمن زمانی مناسب است که چند شرط کلی وجود داشته باشد.

اول اینکه حداقل سه اندازه‌گیری یا وضعیت وجود داشته باشد.

دوم اینکه اندازه‌گیری‌ها وابسته باشند.

سوم اینکه داده‌ها رتبه‌ای یا کمی باشند، اما شرایط استفاده از روش پارامتریک مناسب برقرار نباشد.

کاربردهای رایج عبارت‌اند از:

• مقایسه قبل، حین و بعد از مداخله
• بررسی سه روش روی یک گروه ثابت
• مقایسه رتبه چند گزینه توسط یک گروه از پاسخ‌دهندگان
• اندازه‌گیری یک متغیر در چند زمان مختلف

مثال ساده آزمون فریدمن

فرض کنید ۳۰ کارمند در یک برنامه آموزشی شرکت کرده‌اند.

سطح مهارت آن‌ها در سه زمان اندازه‌گیری شده است:

• قبل از آموزش
• بلافاصله بعد از آموزش
• سه ماه بعد

اگر داده‌ها شرایط لازم برای تحلیل پارامتریک را نداشته باشند، می‌توان از آزمون فریدمن استفاده کرد.

فرض صفر:

بین سه زمان از نظر سطح مهارت تفاوت معناداری وجود ندارد.

فرض مقابل:

حداقل یکی از زمان‌ها با سایر زمان‌ها تفاوت دارد.

اگر نتیجه فریدمن معنادار شود، می‌توان نتیجه گرفت حداقل بین دو مرحله تفاوت وجود دارد.

اما هنوز مشخص نمی‌شود دقیقاً کدام مراحل با هم متفاوت هستند.

تفاوت آزمون فریدمن و ویلکاکسون چیست؟

این دو آزمون هر دو برای داده‌های وابسته استفاده می‌شوند، اما تعداد شرایط متفاوت است.

ویژگی	ویلکاکسون	فریدمن
تعداد شرایط	دو	سه یا بیشتر
نوع داده	وابسته	وابسته
نوع آزمون	ناپارامتریک	ناپارامتریک
جایگزین پارامتریک	t زوجی	Repeated Measures ANOVA

برای مثال:

قبل و بعد از درمان:

ویلکاکسون

قبل، یک ماه بعد و سه ماه بعد از درمان:

فریدمن

برای توضیحات کامل‌تر می‌توانید مقاله «آزمون ویلکاکسون چیست؟» را مطالعه کنید.

تفاوت آزمون فریدمن و کروسکال والیس چیست؟

این دو آزمون اغلب با یکدیگر اشتباه گرفته می‌شوند.

هر دو برای مقایسه سه گروه یا بیشتر استفاده می‌شوند، اما نوع گروه‌ها متفاوت است.

در فریدمن:

گروه‌ها یا اندازه‌گیری‌ها وابسته هستند.

در کروسکال والیس:

گروه‌ها مستقل هستند.

برای مثال:

مقایسه رضایت یک گروه مشتری در سه زمان:

فریدمن

مقایسه رضایت مشتریان سه شعبه مختلف:

کروسکال والیس

برای آشنایی بیشتر با آزمون گروه‌های مستقل می‌توانید مقاله «آزمون کروسکال والیس چیست؟» را مطالعه کنید.

تفاوت فریدمن و ANOVA با اندازه‌گیری تکراری چیست؟

Repeated Measures ANOVA روش پارامتریک برای مقایسه چند اندازه‌گیری وابسته است.

آزمون فریدمن جایگزین ناپارامتریک آن محسوب می‌شود.

ویژگی	Repeated Measures ANOVA	Friedman
نوع آزمون	پارامتریک	ناپارامتریک
داده‌ها	وابسته	وابسته
تعداد شرایط	سه یا بیشتر	سه یا بیشتر
تمرکز اصلی	میانگین‌ها	رتبه‌ها
حساسیت به پیش‌فرض‌های توزیعی	بیشتر	کمتر

اگر داده‌ها و باقی‌مانده‌ها شرایط مناسب پارامتریک را داشته باشند، روش پارامتریک می‌تواند اطلاعات بیشتری ارائه دهد.

اگر چنین شرایطی برقرار نباشد، فریدمن گزینه مناسبی است.

فرضیه‌های آزمون فریدمن

در آزمون فریدمن نیز فرض صفر و فرض مقابل تعریف می‌شوند.

فرض صفر

H0:

توزیع یا رتبه‌های شرایط مختلف تفاوت معناداری ندارند.

فرض مقابل

H1:

حداقل یکی از شرایط با سایر شرایط متفاوت است.

برای مثال در مطالعه‌ای با سه زمان:

H0:

بین نمرات قبل، بعد و پیگیری تفاوت معناداری وجود ندارد.

H1:

حداقل بین دو مرحله تفاوت معناداری وجود دارد.

منطق تصمیم‌گیری در این آزمون نیز بر اساس «آزمون فرض آماری» انجام می‌شود.

پیش‌فرض‌های آزمون فریدمن چیست؟

فریدمن نسبت به آزمون‌های پارامتریک محدودیت کمتری دارد، اما بدون شرط هم نیست.

مهم‌ترین شرایط عبارت‌اند از:

• وجود سه یا چند اندازه‌گیری وابسته
• مربوط بودن اندازه‌گیری‌ها به واحدهای یکسان
• حداقل رتبه‌ای بودن داده‌ها
• امکان رتبه‌بندی مقادیر

برخلاف روش‌های پارامتریک، نرمال بودن داده‌ها پیش‌فرض اصلی آزمون فریدمن نیست.

به همین دلیل در بسیاری از پژوهش‌هایی که داده‌ها غیرنرمال هستند از این آزمون استفاده می‌شود.

برای بررسی اولیه توزیع داده‌ها می‌توانید مقاله «آزمون نرمال بودن داده‌ها چیست؟» را مطالعه کنید.

آزمون فریدمن چگونه کار می‌کند؟

فریدمن به جای مقایسه مستقیم میانگین‌ها، مقادیر هر فرد یا واحد را بین شرایط مختلف رتبه‌بندی می‌کند.

فرض کنید یک فرد در سه مرحله نمرات زیر را داشته باشد:

• مرحله اول: 12
• مرحله دوم: 16
• مرحله سوم: 19

این مقادیر بر اساس اندازه رتبه دریافت می‌کنند.

سپس رتبه‌های تمام افراد برای هر مرحله جمع‌بندی می‌شوند.

اگر رتبه‌های شرایط مختلف تفاوت زیادی داشته باشند، آماره آزمون بزرگ‌تر می‌شود و ممکن است نتیجه معنادار شود.

میانگین رتبه در آزمون فریدمن چیست؟

یکی از مهم‌ترین خروجی‌های آزمون فریدمن، Mean Rank یا میانگین رتبه است.

برای مثال ممکن است نتایج به شکل زیر باشد:

مرحله	Mean Rank
قبل از آموزش	1.35
بعد از آموزش	2.10
پیگیری	2.55

این جدول نشان می‌دهد مرحله پیگیری بالاترین رتبه را داشته است. اما فقط مشاهده اختلاف Mean Rank برای نتیجه‌گیری کافی نیست. ابتدا باید بررسی شود که آزمون کلی فریدمن از نظر آماری معنادار است یا خیر.

آموزش اجرای آزمون فریدمن در SPSS

برای اجرای آزمون فریدمن در SPSS می‌توانید از مسیر زیر استفاده کنید:

Analyze

↓

Nonparametric Tests

↓

Legacy Dialogs

↓

K Related Samples

در پنجره بازشده، متغیرهای مربوط به اندازه‌گیری‌های وابسته را وارد بخش Test Variables کنید.

برای مثال اگر یک گروه در سه زمان اندازه‌گیری شده است، سه متغیر زیر وارد می‌شوند:

• نمره قبل از آموزش
• نمره بعد از آموزش
• نمره پیگیری

سپس از بخش Test Type گزینه Friedman را فعال کنید و روی OK کلیک کنید.

SPSS خروجی آزمون فریدمن را نمایش می‌دهد.

تفسیر جدول Ranks در آزمون فریدمن

یکی از خروجی‌های مهم، جدول Ranks است.

در این جدول برای هر شرایط یا زمان، مقدار Mean Rank نمایش داده می‌شود.

برای مثال:

مرحله	Mean Rank
قبل از آموزش	1.28
بعد از آموزش	2.11
پیگیری	2.61

بر اساس این جدول، مرحله پیگیری بالاترین میانگین رتبه را دارد و مرحله قبل از آموزش پایین‌ترین میانگین رتبه را نشان می‌دهد.

اما این جدول به تنهایی مشخص نمی‌کند تفاوت‌ها از نظر آماری معنادار هستند یا خیر.

برای تصمیم‌گیری باید جدول Test Statistics نیز بررسی شود.

تفسیر جدول Test Statistics در آزمون فریدمن

در جدول Test Statistics معمولاً شاخص‌های زیر دیده می‌شوند:

• N
• Chi-Square
• df
• Asymp. Sig.

مهم‌ترین مقدار برای تصمیم‌گیری آماری، Asymp. Sig. یا همان p-value است.

اگر:

p < 0.05

باشد، فرض صفر رد می‌شود.

یعنی بین شرایط مورد بررسی تفاوت معناداری وجود دارد.

اگر:

p ≥ 0.05

باشد، شواهد کافی برای رد فرض صفر وجود ندارد.

برای مثال فرض کنید خروجی به صورت زیر باشد:

Chi-Square = 18.42

df = 2

p < 0.001

در این حالت نتیجه آزمون فریدمن معنادار است.

پس می‌توان گفت حداقل بین دو مورد از سه شرایط مورد بررسی تفاوت معناداری وجود دارد.

برای درک بهتر نحوه تفسیر p-value می‌توانید مقاله «p-value چیست؟ مفهوم مقدار P و Sig در SPSS» را مطالعه کنید.

آیا نتیجه معنادار فریدمن مشخص می‌کند کدام گروه‌ها متفاوت هستند؟

خیر.

این یکی از نکات مهم آزمون فریدمن است.

اگر نتیجه کلی آزمون معنادار شود، فقط مشخص می‌شود که همه شرایط یکسان نیستند.

اما مشخص نمی‌شود اختلاف دقیقاً بین کدام دو مرحله وجود دارد.

برای مثال اگر سه مرحله داشته باشیم:

• قبل
• بعد
• پیگیری

ممکن است اختلاف بین قبل و بعد باشد، یا قبل و پیگیری، یا حتی بعد و پیگیری.

برای مشخص شدن این موضوع باید آزمون‌های تعقیبی انجام شوند.

آزمون تعقیبی بعد از فریدمن

یکی از روش‌های رایج برای مقایسه زوجی بعد از آزمون فریدمن استفاده از آزمون ویلکاکسون است.

اگر سه مرحله داشته باشیم، مقایسه‌ها به صورت زیر خواهند بود:

• قبل با بعد
• قبل با پیگیری
• بعد با پیگیری

برای هر مقایسه یک آزمون ویلکاکسون اجرا می‌شود.

آزمون ویلکاکسون مناسب مقایسه دو وضعیت وابسته است و مکمل طبیعی آزمون فریدمن محسوب می‌شود.

برای آموزش کامل این روش می‌توانید مقاله «آزمون ویلکاکسون چیست؟ آموزش Wilcoxon Signed Rank Test در SPSS» را مطالعه کنید.

اصلاح Bonferroni بعد از آزمون فریدمن

اگر بعد از فریدمن چند آزمون ویلکاکسون انجام دهیم، تعداد آزمون‌های آماری افزایش پیدا می‌کند.

با افزایش تعداد آزمون‌ها، احتمال خطای نوع اول نیز بیشتر می‌شود.

یکی از روش‌های ساده برای کنترل این مسئله، اصلاح Bonferroni است.

در این روش سطح معناداری اولیه بر تعداد مقایسه‌ها تقسیم می‌شود.

برای مثال اگر:

α = 0.05

و سه مقایسه داشته باشیم:

0.05 / 3 = 0.0167

در این حالت برای هر مقایسه باید p-value کمتر از حدود ۰.۰۱۷ باشد تا تفاوت معنادار در نظر گرفته شود.

این روش کمک می‌کند احتمال نتیجه مثبت کاذب کاهش پیدا کند.

برای توضیحات بیشتر درباره این موضوع مقاله «خطای نوع اول و دوم چیست؟» مفید است.

مثال کامل آزمون فریدمن

فرض کنید پژوهشگری تاثیر یک برنامه آموزشی را بر مهارت کارکنان بررسی کرده است.

مهارت ۴۰ کارمند در سه زمان اندازه‌گیری شده است:

• قبل از آموزش
• بلافاصله بعد از آموزش
• سه ماه بعد

میانگین رتبه‌ها به صورت زیر است:

مرحله	Mean Rank
قبل	1.21
بعد	2.15
سه ماه بعد	2.64

خروجی Test Statistics:

Chi-Square = 24.36

df = 2

p < 0.001

نتیجه نشان می‌دهد بین سه مرحله تفاوت معنادار وجود دارد.

با توجه به Mean Rank، مرحله سه ماه بعد بالاترین رتبه را دارد.

اما هنوز برای مشخص شدن اینکه کدام جفت مراحل تفاوت معنادار دارند باید آزمون‌های تعقیبی انجام شوند.

فرض کنید نتایج ویلکاکسون پس از اصلاح Bonferroni به این صورت باشند:

قبل و بعد:

p = 0.002

قبل و پیگیری:

p < 0.001

بعد و پیگیری:

p = 0.08

در این حالت:

• تفاوت قبل و بعد معنادار است.
• تفاوت قبل و پیگیری معنادار است.
• تفاوت بعد و پیگیری معنادار نیست.

بنابراین آموزش باعث افزایش مهارت شده است، اما تفاوت بین مرحله بعد و پیگیری از نظر آماری تایید نشده است.

اندازه اثر در آزمون فریدمن

فقط معناداری آماری برای تفسیر کامل نتیجه کافی نیست.

بهتر است اندازه اثر نیز بررسی شود.

یکی از شاخص‌های رایج برای آزمون فریدمن Kendall’s W است.

مقدار Kendall’s W بین صفر و یک قرار می‌گیرد.

مقدار نزدیک به صفر نشان‌دهنده تفاوت یا توافق ضعیف‌تر و مقدار نزدیک به یک نشان‌دهنده اثر قوی‌تر است.

یک راهنمای تقریبی برای تفسیر آن:

Kendall’s W	تفسیر تقریبی
0.10	کوچک
0.30	متوسط
0.50 و بیشتر	بزرگ

این حدود باید با توجه به موضوع پژوهش تفسیر شوند و قوانین مطلق نیستند.

برای آشنایی بیشتر با مفهوم اندازه اثر می‌توانید مقاله «اندازه اثر چیست؟» را مطالعه کنید.

فرمول Kendall’s W در آزمون فریدمن

در بسیاری از موارد می‌توان Kendall’s W را بر اساس آماره فریدمن محاسبه کرد.

فرمول متداول:

W = χ² / [N × (k – 1)]

در این فرمول:

• χ² = آماره فریدمن
• N = تعداد افراد یا بلوک‌ها
• k = تعداد شرایط

برای مثال اگر:

χ² = 24

N = 40

k = 3

باشد:

W = 24 / [40 × 2]

W = 0.30

در این مثال، اندازه اثر در محدوده متوسط قرار می‌گیرد.

نحوه گزارش آزمون فریدمن در پایان نامه

در گزارش آزمون فریدمن بهتر است موارد زیر ذکر شوند:

• دلیل استفاده از فریدمن
• تعداد شرایط
• تعداد نمونه
• Mean Rank
• آماره Chi-Square
• درجه آزادی
• p-value
• نتیجه آزمون‌های تعقیبی در صورت نیاز
• اندازه اثر

یک نمونه گزارش مناسب:

«برای بررسی تغییر نمرات مهارت کارکنان در سه مرحله قبل، بعد و پیگیری از آزمون فریدمن استفاده شد. نتایج نشان داد تفاوت معناداری بین سه مرحله وجود دارد، χ²(2)=24.36, p<0.001. میانگین رتبه مرحله قبل 1.21، مرحله بعد 2.15 و مرحله پیگیری 2.64 بود. آزمون‌های تعقیبی ویلکاکسون با اصلاح Bonferroni نشان داد نمرات مرحله قبل با دو مرحله بعدی تفاوت معناداری دارند.»

این نوع گزارش نسبت به نوشتن ساده عبارت «آزمون فریدمن معنادار بود» اطلاعات بسیار بیشتری ارائه می‌دهد.

کاربرد آزمون فریدمن در تحقیقات پرسشنامه‌ای

آزمون فریدمن فقط برای مطالعات قبل و بعد استفاده نمی‌شود.

در برخی تحقیقات پرسشنامه‌ای نیز از آن برای رتبه‌بندی چند عامل توسط یک گروه از پاسخ‌دهندگان استفاده می‌شود.

برای مثال فرض کنید از مدیران خواسته شده اهمیت پنج عامل موفقیت پروژه را ارزیابی کنند:

• هزینه
• زمان
• کیفیت
• منابع انسانی
• مدیریت ریسک

اگر هدف بررسی تفاوت رتبه این عوامل در میان همان پاسخ‌دهندگان باشد، آزمون فریدمن می‌تواند کاربرد داشته باشد.

در صورت معنادار بودن نتیجه، Mean Rank نشان می‌دهد کدام عوامل رتبه بالاتری دارند.

البته معناداری فریدمن به این معنی نیست که همه عوامل دو به دو با هم تفاوت دارند.

کاربرد آزمون فریدمن در مدیریت

در تحقیقات مدیریت می‌توان از آزمون فریدمن برای مواردی مانند زیر استفاده کرد:

• رتبه‌بندی عوامل موثر بر رضایت کارکنان
• مقایسه چند معیار تصمیم‌گیری توسط مدیران
• بررسی عملکرد کارکنان در چند زمان
• مقایسه اهمیت چند عامل سازمانی

برای مثال ممکن است پژوهشگر از ۱۰۰ مدیر بخواهد اهمیت پنج عامل مختلف را ارزیابی کنند و سپس با آزمون فریدمن مشخص کند آیا رتبه عوامل با یکدیگر تفاوت معناداری دارد یا خیر.

کاربرد آزمون فریدمن در پزشکی

در مطالعات پزشکی، فریدمن برای بررسی وضعیت یک گروه بیمار در چند زمان مختلف کاربرد دارد.

برای مثال:

شدت درد:

• قبل از درمان
• یک هفته بعد
• یک ماه بعد

اگر داده‌ها برای استفاده از روش پارامتریک مناسب نباشند، آزمون فریدمن می‌تواند تفاوت کلی بین این سه مرحله را بررسی کند.

در صورت معناداری، از مقایسه‌های زوجی برای مشخص شدن محل تفاوت استفاده می‌شود.

کاربرد آزمون فریدمن در روانشناسی

در پژوهش‌های روانشناسی نیز ممکن است یک متغیر چند بار در یک گروه اندازه‌گیری شود.

برای مثال اضطراب افراد:

• قبل از درمان
• پایان درمان
• مرحله پیگیری

اگر شرایط استفاده از آزمون پارامتریک برقرار نباشد، فریدمن می‌تواند برای بررسی تغییرات کلی اضطراب استفاده شود.

اشتباهات رایج در استفاده از آزمون فریدمن

یکی از اشتباهات رایج استفاده از فریدمن برای گروه‌های مستقل است.

اگر سه گروه کاملاً مستقل داشته باشیم، معمولاً باید از «آزمون کروسکال والیس» استفاده شود.

اشتباه دیگر این است که پس از معنادار شدن آزمون فریدمن، نتیجه گرفته شود همه مراحل با یکدیگر متفاوت هستند.

برای مشخص شدن تفاوت‌های زوجی باید آزمون‌های تعقیبی اجرا شوند.

همچنین بهتر است در مقایسه‌های متعدد اصلاح سطح معناداری در نظر گرفته شود.

نتیجه‌گیری

آزمون فریدمن چیست؟ Friedman Test یک آزمون ناپارامتریک برای مقایسه سه یا چند شرایط وابسته است.

این آزمون زمانی کاربرد دارد که یک گروه در چند زمان یا چند شرایط مختلف اندازه‌گیری شود و استفاده از روش پارامتریک مناسب نباشد.

مهم‌ترین بخش‌های تفسیر آزمون فریدمن عبارت‌اند از:

• Mean Rank
• Chi-Square
• df
• p-value
• آزمون‌های تعقیبی
• اندازه اثر Kendall’s W

اگر فقط دو شرایط وابسته داشته باشید، معمولاً «آزمون ویلکاکسون» مناسب‌تر است.

اگر سه گروه یا بیشتر مستقل باشند، «کروسکال والیس» انتخاب مناسب‌تری خواهد بود.

بنابراین مستقل یا وابسته بودن داده‌ها یکی از مهم‌ترین معیارهای انتخاب آزمون است.

سوالات متداول درباره آزمون فریدمن

آزمون فریدمن چیست؟

آزمون فریدمن یک روش ناپارامتریک برای مقایسه سه یا چند نمونه یا شرایط وابسته است.

تفاوت فریدمن و ویلکاکسون چیست؟

ویلکاکسون برای دو شرایط وابسته و فریدمن برای سه شرایط وابسته یا بیشتر استفاده می‌شود.

تفاوت فریدمن و کروسکال والیس چیست؟

فریدمن برای داده‌های وابسته و کروسکال والیس برای گروه‌های مستقل کاربرد دارد.

اگر فریدمن معنادار شود چه کاری باید انجام داد؟

برای مشخص شدن اینکه کدام شرایط با یکدیگر تفاوت دارند، باید مقایسه‌های زوجی مانند ویلکاکسون انجام شوند.

Mean Rank در آزمون فریدمن چیست؟

Mean Rank میانگین رتبه هر شرایط را نشان می‌دهد و به مقایسه جهت و ترتیب شرایط کمک می‌کند.

اندازه اثر فریدمن چگونه محاسبه می‌شود؟

یکی از شاخص‌های رایج Kendall’s W است که مقداری بین صفر و یک دارد.

آزمون فریدمن در SPSS از چه مسیری اجرا می‌شود؟

از مسیر Analyze > Nonparametric Tests > Legacy Dialogs > K Related Samples می‌توان آزمون Friedman را اجرا کرد.

آیا آزمون فریدمن به نرمال بودن داده‌ها نیاز دارد؟

خیر. نرمال بودن داده‌ها پیش‌فرض اصلی این آزمون ناپارامتریک نیست.