روش برنامه ریزی آرمانی

برنامه ریزی آرمانی فازی یاری رسان خوبی برای تصمیم گیری در مدلسازی مسائل تصمیم گیری دنیای واقعی است. هدف از برنامه ریزی آرمانی، گسترش برنامه ریزی خطی به مسائلی است که شامل اهداف چندگانه گردد. به جهت این خواسته، لازم است سطح آرمان برای اهداف مشخص و میزان انحراف از سطح آرمان کاهش یابد.

در صورت برخورد با مسائلی با اهداف نامساوی، وزن و یا اولویت هدف از طریق متغیرهای انحراف آن منعکس خواهد شد. اغلب، در مسائل جهان واقعی سطح آرمان و / یا عوامل اولویت تصمیم گیرنده، و گاهی حتی وزن اختصاص داده به اهداف ، در طبیعت مبهم اند. در چنین شرایطی استفاده از نظریه مجموعه فازی بکار می آید.

برنامه ریزی آرمانی فازی

تفاوت اصلی میان برنامه ریزی آرمانی و برنامه ریزی آرمانی فازی در این است که برنامه ریزی آرمانی نیاز به تصمیم گیرنده دارد تا مجموعه مقدار آرمان برای هر هدف که او قصد رسیدن به آن را دارد را معیین نماید در حالی که در برنامه ریزی آرمانی فازی این ارزش ها در شیوه ای مبهم مشخص شده است.

در این جا به بررسی یک مدل خاص افزودنی (وزن دار و اولویت دار) در برنامه ریزی آرمانی اشاره می کنیم که علاوه بر یک عملگر جمع به منظور تجمیع اهداف فازی نیز بکار می رود.

برنامه ریزی آرمانی فازی

  • مدل افزودنی ساده برنامه ریزی آرمانی

مدل برنامه ریزی آرمانی ساده زیر را در نظر بگیرید:

Find X                                                                                   

To satisfy Gi(x) ≥ gi i=1, 2… m,                                                     (1)

Subject to AX ≤ b,

X ≥ 0

به طوریکه در آن X یک n-بردار با اجزای X1,X2 … AX می باشد  و AX ≤ b محدودیت های سیستم به صورت برداری می باشند. نماد  ≥   اشاره به فازی شدن سطح آرمان (به عنوان مثال، حدود بزرگتر یا مساوی) دارد. I امین هدف فازی در  Gi(x) ≥ gi  میزان رضایتمندی تصمیم گیرنده را تعیین می کند حتی اگر  gi  به حد یا حتی کمتر از حد تحمیلی خاص تعیین شده رسیده باشد. یک تابع عضویت خطی µi برای i امین هدف آرمانی فازی  Gi(x) ≥ gi می توان با توجه به زیمرمن به صورت زیر بیان کرد:

مدل افزودنی ساده برنامه ریزی آرمانی
مدل افزودنی ساده برنامه ریزی آرمانی

به طوری که Li  تعیین کننده حد پایین برای هدف (Gi(x خواهد بود.

زمانی که   Gi(x) ≤ gi باشد تابع عضویت به صورت زیر تعریف می گردد:

برنامه ریزی آرمانی ساده با حد بالا
برنامه ریزی آرمانی ساده با حد بالا

که در آن Ui  حد تحمل بالا است. حال مدل افزودنی (1)  با ادغام تابع عضویت به صورت زیر خواهد شد:

مدل برنامه ریزی آرمانی ساده
مدل برنامه ریزی آرمانی ساده

که در آن V (µ) تابع دستاورد فازی یا تابع تصمیم گیری فازی نامیده می شود. این یک مسئله بهینه سازی تک هدفه است که می تواند با استفاده از یک روش کلاسیک مناسب حل گردد. از آنجا که اهداف فازی هستند، بر خلاف برنامه ریزی آرمانی معمولی (به حداقل رساندن انحراف) تابع تصمیم گیری فازی متشکل از µi تابع عضویت است که در اینجا حداکثر گردیده است.


مثال عددی مدل افزودنی ساده برنامه ریزی آرمانی

مقدار X  را طوری بدست آورید که اهداف تابع را برآورده نماید:

4X1 + 2X2+ 8X3 + X4 ≤ 35

4X1 + 7X2+ 6X3 +2X4 ≥ 100

X1 – 6X2 + 5X3+10X4 ≥ 120

5X1 + 3X2 + 2X3 ≥ 70

4X1 + 4X2 + 4X3 ≥ 40

S.TO

9X1 + X2 + 6X4 ≤ 105

7X1 + 5X2+ 3X3 + 2X4 ≤ 98

7X1 + X2+ 6X3 + 6X4 ≤ 117

X1 + X2+ 2X3 + 6X4 ≤ 130

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Tollerance (55, 40, 70, 30, 10)

Max ∑ µi

µ1 = (55 – (4X1 + 2X2+ 8X3 + X4))/ 55 – 35

µ2 = (4X1 + 7X2+ 6X3 +2X4) – 40 / 100 – 40

µ3 = (X1 – 6X2 + 5X3+10X4) – 70 / 120 – 70

µ4 = (5X1 + 3X2 + 2X3) – 30 / 70 – 30

µ5 = (4X1 + 4X2 + 4X3) – 10 / 40 – 10

S.to

9X1 + X2 + 6X4 ≤ 105

7X1 + 5X2+ 3X3 + 2X4 ≤ 98

7X1 + X2+ 6X3 + 6X4 ≤ 117

X1 + X2+ 2X3 + 6X4 ≤ 130

µi ≤ 1

Xj, µi ≥ 0, i = 1, 2… 5,    j = 1, 2… 4

معادله فوق از طریق سیمپلکس حل می شود و جواب نهایی برابر:

X1 = 0, X2 = 9.75, X3 = 0, X4 = 15.875

G1 = 4X1 + 2X2+ 8X3 + X4 => 35.375

G2 = 4X1 + 7X2+ 6X3 +2X4 => 100

G3 = X1 – 6X2 + 5X3+10X4 => 100.25

G4 = 5X1 + 3X2 + 2X3 => 61

G5 = 4X1 + 4X2 + 4X3 => 39

µ1 = 0.981, µ2 = 1.00, µ3 = 0.605, µ4 =0.775, µ5 = 0.967


برنامه ریزی آرمانی فازی

  • مدل افزودنی وزن دار برنامه ریزی آرمانی

مدل افزودنی ساده وزن دار برنامه ریزی آرمانی به طور گسترده ای در برنامه ریزی آرمانی و تکنیک های بهینه سازی چند هدفه جهت انعکاس اهمیت نسبی از اهداف (آرمان) بکار گرفته می شود. در این روش تصمیم گیرنده وزن تفاضلی را  به عنوان ضرایب منحصربه فرد در تابع افزودنی ساده اختصاص می دهد تا دستاورد ساده فازی منعکس کننده اهمیت نسبی آنها را نمایش دهد، به عنوان مثال، تابع هدف بوسیله ضرب کردن هر عضو در مدل آرمانی فازی با وزن مناسب و سپس اضافه کردن آنها با یکدیگر فرموله می گردد. این امر منجر به فرمول زیر می شود:

مدل افزودنی وزن دار برنامه ریزی آرمانی
مدل افزودنی وزن دار برنامه ریزی آرمانی

که در آن Wi وزن نسبی هدف فازی i ام است.

مشکل اصلی این روش وظیفه تصمیم گیرنده برای ارزیابی اهمیت نسبی از اهداف درست است. عبارت ” اهمیت نسبی ” مفهوم فازی است بدین معنا که سطوح مختلف را می توان تنها غیردقیق بیان کرد. با این حال، برخی از روش های خوب در ادبیات به جهت ارزیابی این اوزان وجود دارد.


برنامه ریزی آرمانی فازی

مثال عددی مدل افزودنی وزن دار برنامه ریزی آرمانی

در اینجا مثال قبل را با اوزان w = (0.49, 0.131, 0.153, 0.114, 0.112)  مجددا بازنویسی می کنیم:

Maximize V (µ) = 0.49 µ1 + 0.131 µ2 + 0.153 µ3 + 0.114 µ4 + 0.112 µ5

روش حل مانند قسمت قبل است و جواب های نهایی به صورت زیر بدست می آید:

X1 = 0, X2 = 9.545, X3 = 0, X4 = 14.909

G1 = 35, G2 = 98.633, G3 = 101.82, G4 = 60.453, G5 = 38.18

µ1 = 1, µ2 = 0.977, µ3 = 0.636, µ4 =0.761, µ5 = 0.939

لازم به ذکر است که، نسبت به راه حل های قبلی مدل افزودنی ساده (اهمیت مساوی اهداف)، در این مدل آرمان های G1 وG3  افزایش یافته است، و سایر اهداف باقی مانده با توجه به ساختار وزن آن کاهش یافته است.


برنامه ریزی آرمانی فازی

  • مدل افزودنی اولویت دار برنامه ریزی آرمانی

در بسیاری از مسائل تصمیم گیری اهداف تناسب پذیر (عدم قرارداشتن در یک واحد اندازه گیری) نیستند. علاوه بر این، گاهی اوقات اهداف طوری اند که یک هدف خاص یا یک زیر مجموعه یا زیر مجموعه ای از اهداف  باید به دست آید طوری که برخی نباید در نظر گرفته شود. در چنین شرایطی این مدل افزودنی وزن دار مطرح شده در بخش قبلی یک روش مناسب نمی باشد. ساختار مدل افزودنی اولویت دار ممکن است به صورت  pi>>> pi+1  نمایش داده شود که بدین معناست که اهدف در سطح اولویت i ام در اولویت بالاتری از اهداف در سطح i+1  قرار دارند.

برای پژوهش حاضر مساله k زیر مسئله تقسیم شده، طوری که در آن k تعداد سطوح اولویت را معین می کند. ابتدا زیر مسئله اول اهداف فازی متعلق به سطح اولویت اول تنها در نظر گرفته شده و با استفاده از مدل افزودنی ساده عنوان شده در بخش اول حل می گردد. اما برای دیگر سطوح اولویت ، ارزش های تابع عضویت بدست آمده از قبل به عنوان محدودیت های اضافی به مدل تحمیل می گردد. به طور کلی زیر مسئله i ام برابر است با:

مدل افزودنی اولویت دار برنامه ریزی آرمانی
مدل افزودنی اولویت دار برنامه ریزی آرمانی

به طوری که µs)pi) به توابع عضویت از اهداف در سطح اولویت i ام اشاره دارد و µ*)pr)ارزش به دست آمده در r امین سطح اولویت خواهد بود.


برنامه ریزی آرمانی فازی

 مثال عددی مدل افزودنی اولویت دار برنامه ریزی آرمانی

فرض کنید مثال ذکر شده در بالا دارای اولویت های زیر می باشد:

سطح اول : G1 و  G3

سطح دوم : G2

سطح سوم : G4 و  G5

زیر مسئله ها همانطور که در بالا تعریف شده است تدوین می گردد. جواب نهایی برای دو زیر مسئله اول برابر µ1 = 1، µ3 = 1 و µ2= 0.795 خواهد بود. حال آخرین زیر مسئله به صورت زیر انجام می پذیرد:

Max V (µ) = µ4 + µ5

s.to        µ1 =1

µ2 = 0.795

µ3 = 1

µ4 ≤ 1

µ5 ≤ 1

µi ≤ 1 و کلیه محدودیت های مساله اول به غیر از

X1 = 0.02, x2 = 7.479, x3 = 0.473, x4 = 16.251,

G1 = 35.000, G, = 87.70, G3 = 120.000, G4 = 54.949, G5 = 31.816,

µ1 =1, µ2 = 0.795, µ3 = 1, µ4 = 0.624, µ5 = 0.727

دو هدف G1  و G3  به طور کامل برآورده شدند و سایر اهداف تا حدودی این سطح رضایت مندی تحقق پذیرفته است.

X
سوالی دارین؟