مثال روش تندترین شیب
از روش تندترین شیب برای پیدا کردن از مینیمم تابع زیر استفاده نمایید:
F(x1, x2, x3) = (x۱ -۴)۴ + (x۲-۳)۲ + ۴(x۳+۵)۴
مثال روش تندترین شیب
نقطه اولیه [x(۰) = [۴, ۲, -۱ می باشد. پس از انجام ۳ تکرار خواهیم داشت:
˅f(X (k)) = [۴(x۱ -۴)۳, ۲(x۲-۳), ۱۶(x۳+۵)۳] T
از این رو با قرار دادن مقادیر اولیه در تابع خواهیم داشت:
˅f(X (۰)) = [۴(۴ -۴)۳, ۲(۲ -۳), ۱۶(-۱+۵)۳] T = [۰, -۲, ۱۰۲۴]
جهت محاسبه x(۱) می بایست:
α۰ = arg min f(x (۰) – α˅f (x (۰))), α≥۰
α۰ = arg min f (0 + (2 +2α -۳)۲ + ۴(-۱ -۱۰۲۴ α +۵)۴)
α۰ = arg min ф۰ (α)
با استفاده از روش سکانت (روش وتری) خواهیم داشت:
α۰ = ۳.۹۶۷ * ۱۰-۳
جهت گویا نمودن روش حل، در شکل زیر مقدار (ф۰ (α را نمایش دادیم.
X (۱) = x (۰) – α۰˅f (x (۰)) = [۴.۰۰, ۲.۰۰۸, -۵.۰۶۲] T
˅f (x (۱)) = [۰.۰۰, -۱.۹۸۴, -۰.۰۰۳۸۷۵] T
در گام بعدی مقدار α۱ را محاسبه می نماییم:
α۱ = arg min f (2.008 +1.984α -۳)۲ + ۴(-۵.۰۶۲ +۰.۰۰۳۸۷۵ α +۵)۴)
α۱= arg min ф۱ (α)
مجدداً با استفاده از روش سکانت (روش وتری) خواهیم داشت:
α۰ = ۰.۵۰۰۰
جهت گویا نمودن روش حل، در شکل زیر مقدار (ф۱ (α را نمایش دادیم.
جهت محاسبه (x(۳ خواهیم داشت:
X (۲) = x (۱) – α۱˅f (x (۱)) = [۴.۰۰۰, ۳.۰۰۰, -۵.۰۶۰] T
˅f (x (۲)) = [۰.۰۰, ۰.۰۰, -۰.۰۰۳۵۲۵] T
α۲ = arg min f (0.00 +0.00 + 4(-5.060 +0.003525 α +۵)۴)
α۲= arg min ф۲ (α)
با ادامه تکرار قبلی α۲ = ۱۶.۲۹ بدست خواهد آمد.
X (۳) = [۴.۰۰۰, ۳.۰۰۰, -۵.۰۰۲] T
مجددا جهت وضوح بهتر مقدار (ф۲ (α در شکل زیر نشان داده شده است:
توجه داشته باشید که مقدار مینیمم تابع f برابر [۴, ۳, -۵] است، و از این رو به نظر می رسد که ما به نقطه مینیمم تنها در سه تکرار رسیدیم.