مثال روش تندترین شیب
از روش تندترین شیب برای پیدا کردن از مینیمم تابع زیر استفاده نمایید:
F(x1, x2, x3) = (x1 -4)4 + (x2-3)2 + 4(x3+5)4
مثال روش تندترین شیب
نقطه اولیه [x(0) = [4, 2, -1 می باشد. پس از انجام 3 تکرار خواهیم داشت:
˅f(X (k)) = [4(x1 -4)3, 2(x2-3), 16(x3+5)3] T
از این رو با قرار دادن مقادیر اولیه در تابع خواهیم داشت:
˅f(X (0)) = [4(4 -4)3, 2(2 -3), 16(-1+5)3] T = [0, -2, 1024]
جهت محاسبه x(1) می بایست:
α0 = arg min f(x (0) – α˅f (x (0))), α≥0
α0 = arg min f (0 + (2 +2α -3)2 + 4(-1 -1024 α +5)4)
α0 = arg min ф0 (α)
با استفاده از روش سکانت (روش وتری) خواهیم داشت:
α0 = 3.967 * 10-3
جهت گویا نمودن روش حل، در شکل زیر مقدار (ф0 (α را نمایش دادیم.
X (1) = x (0) – α0˅f (x (0)) = [4.00, 2.008, -5.062] T
˅f (x (1)) = [0.00, -1.984, -0.003875] T
در گام بعدی مقدار α1 را محاسبه می نماییم:
α1 = arg min f (2.008 +1.984α -3)2 + 4(-5.062 +0.003875 α +5)4)
α1= arg min ф1 (α)
مجدداً با استفاده از روش سکانت (روش وتری) خواهیم داشت:
α0 = 0.5000
جهت گویا نمودن روش حل، در شکل زیر مقدار (ф1 (α را نمایش دادیم.
جهت محاسبه (x(3 خواهیم داشت:
X (2) = x (1) – α1˅f (x (1)) = [4.000, 3.000, -5.060] T
˅f (x (2)) = [0.00, 0.00, -0.003525] T
α2 = arg min f (0.00 +0.00 + 4(-5.060 +0.003525 α +5)4)
α2= arg min ф2 (α)
با ادامه تکرار قبلی α2 = 16.29 بدست خواهد آمد.
X (3) = [4.000, 3.000, -5.002] T
مجددا جهت وضوح بهتر مقدار (ф2 (α در شکل زیر نشان داده شده است:
توجه داشته باشید که مقدار مینیمم تابع f برابر [4, 3, -5] است، و از این رو به نظر می رسد که ما به نقطه مینیمم تنها در سه تکرار رسیدیم.